专题二 基本初等函数、导数及其应用87375

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专题二　基本初等函数、导数及其应用(2012·高考课标全国卷)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图像大致为(2012·高考北京卷)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为A．5　　　　　　　　　B．7C．9D．11(2012·高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝A．335B．338C．1678D．2012(2012·高考山东卷)函数y＝的图象大致为(2012·高考福建卷)设函数D(x)＝则下列结论错误的是A．D(x)的值域为{0，1}B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数D．D(x)不是单调函数 (2012·高考福建卷)函数f(x)在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f≤[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)在[a，b]上具有性质P.设f(x)在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：①f(x)在[1，3]上的图像是连续不断的；②f(x2)在[1，]上具有性质P；③若f(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝1，x∈[1，3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有f≤[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]．其中真命题的序号是A．①②B．①③C．②④D．③④(2012·高考安徽卷)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是A．f(x)＝|x|B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x(2012·高考湖南卷)已知两条直线l1：y＝m和l2:y＝(m＞0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为A．16B．8C．8D．4(2012·高考辽宁卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在[－，]上的零点个数为A．5B．6C．7D．8(2012·高考大纲全国卷)已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e，则A．x＜y＜z　B．z＜x＜y　　C．z＜y＜x　　D．y＜z＜x(2012·高考重庆卷)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)(2012·高考江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上， f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．(2012·高考湖南卷)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．(1)若φ＝，点P的坐标为，则ω＝__________；(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为__________．(2012·高考上海卷)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝__________．(2012·高考课标全国卷)已知函数f(x)满足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2.(Ⅰ)求f(x)的解析式及单调区间；(Ⅱ)若f(x)≥x2＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值．(2012·高考广东卷)设a＜1，集合A＝{x∈R|x>0}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B.(1)求集合D(用区间表示)；(2)求函数f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6ax在D内的极值点．(2012·高考浙江卷)已知a>0，b∈R，函数f(x)＝4ax3－2bx－a＋b.(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，(ⅰ)函数f(x)的最大值为|2a－b|＋a；(ⅱ)f(x)＋|2a－b|＋a≥0；(Ⅱ)若－1≤f(x)≤1对x∈[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．(2012·高考陕西卷)设函数fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)．(Ⅰ)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：fn(x)在区间(，1)内存在唯一零点；(Ⅱ)设n＝2，若对任意x1，x2∈[－1，1]，有|f2(x1)－f2(x2)|≤4，求b的取值范围； (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，设xn是fn(x)在(，1)内的零点，判断数列x2，x3，…，xn，…的增减性．(2012·高考四川卷)已知a为正实数，n为自然数，抛物线y＝－x2＋与x轴正半轴相交于点A.设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．(Ⅰ)用a和n表示f(n)；(Ⅱ)求对所有n都有≥成立的a的最小值；(Ⅲ)当00且趋向于0时，2x－2－x＞0，cos6x→1，∴y＞0，故选D.C　　对于D(x)＝，其值域显然为{0，1}；对于B：若x为有理数，则－x为有理数，∴D(x)＝D(－x)＝1；同理，当x为无理数时，－x也是无理数，D(x)＝D(－x)＝0；综上，D(x)＝D(－x)，即D(x)为偶函数；对于D：显然不是单调函数．故选C：任意的非零有理数均是D(x)的周期．D　　由题易知函数应为下凸函数(如图)∴f(x)单调递减， 对于C：∵f(x)≤f(2)＝1，∴f(x)＝1恒成立．对于D：f＝f≤≤[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]．C　代入验证A．f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)，正确．B．f(2x)＝2x－|2x|＝2x－2|x|.2f(x)＝2(x－|x|)＝2x－2|x|，则f(2x)＝2f(x)．C．若f(x)＝x＋1时，f(2x)＝2x＋1，2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，不满足．D．f(2x)＝－2x＝2f(x)．B　　由－log2x＝m解得A，由log2x＝m解得B，由－log2x＝解得C，由log2x＝解得D，∴a＝＝，b＝，∴＝2m·2＝2m＋＝2＋－≥22×2－＝2＝8，当且仅当m＋＝⇒m＝时取“＝”号，故选B.B　　画出f(x)，g(x)在[－，]上图象，观察知图象有6个交点． D　　∵x＝lnπ＞lne＝1，y＝log52＜，z＝e＝，∴0⇒y＝g(x)在x∈R上单调递增，f′(x)>0＝f′(0)⇔x>0，f′(x)<0＝f′(0)⇔x<0，即f(x)的解析式为f(x)＝ex－x＋x2，且单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．(Ⅱ)f(x)≥x2＋ax＋b⇔h(x)＝ex－(a＋1)x－b≥0得h′(x)＝ex－(a＋1)，①当a＋1≤0时，h′(x)>0⇒y＝h(x)在x∈R上单调递增，x→－∞时，h(x)→－∞与h(x)≥0矛盾；②当a＋1>0时，h′(x)>0⇔x>ln(a＋1)，h′(x)<0⇔x0)．令F(x)＝x2－x2lnx(x>0)，则F′(x)＝x(1－2lnx)F′(x)>0⇔0，当x＝时，F(x)max＝；故a＝－1，b＝时，(a＋1)b的最大值为.解：(1)设g(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a，其对称轴方程为x＝(1＋a)．当a≤－1时，x＝(1＋a)≤0，g(0)＝6a>0，Δ＝9(1＋a)2－48＝9a2－30a＋9＝3(3a－1)(a－3)≥0，方程g(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a＝0，有解为x1＝<00，g(0)＝6a<0，方程g(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a＝0，有解为x1＝<00，g(0)＝6a>0，Δ＝9(1＋a)2－48＝9a2－30a＋9＝3(3a－1)(a－3)≥0，方程g(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a＝0，有解为0矛盾．当0，解得a(a－3)<0⇒a∈(0，]，∴f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6ax在D内有一个极值点a.当0时，g′(x)＝－12ax2＋2b在0≤x≤1上的正负性不能判断，令g′(x)＝0，得x＝ .g(x)max＝max{g()，g(1)}＝max{b＋a－b，b－2a}＝≤|2a－b|＋a；综上所述：函数g(x)在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|＋a.即f(x)＋|2a－b|＋a≥0在0≤x≤1上恒成立．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数f(x)在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|＋a，且函数f(x)在0≤x≤1上的最小值比－(|2a－b|＋a)要大．∵－1≤f(x)≤1对x∈[0，1]恒成立，∴|2a－b|＋a≤1.取b为纵轴，a为横轴．则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b.作图如下：由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有zmax＝3.∴所求a＋b的取值范围为：(－∞，3]．解：(Ⅰ)当b＝1，c＝－1，n≥2时，f(x)＝xn＋x－1.∵f()f(1)＝(－)×1＜0，∴f(x)在(，1)内存在零点．又当x∈(，1)时，f′(x)＝nxn－1＋1＞0，∴f(x)在(，1)上是单调递增的，∴f(x)在(，1)内存在唯一零点．(Ⅱ)当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c，对任意x1，x2∈[－1，1]有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[－1，1]上的最大值与最小值之差M≤4，据此分类讨论如下：①当>1，即|b|>2时，M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|>4，与题设矛盾．②当－1≤－<0，即04n＝(1＋3)n＝1＋C·3＋C·32＋C·33＋…≥1＋C·3＋C·32＋C·33＝1＋2n3＋n[5(n－2)2＋(2n－5)]>2n3＋1.当n＝0，1，2时，显然()n≥2n3＋1.故a＝时，≥对所有自然数n都成立．所以满足条件的a的最小值为.(Ⅲ)由(Ⅰ)知f(k)＝ak，则＝，＝，下面证明：>·.首先证明：当00. 故g(x)在区间(0，1)上的最小值g(x)min＝g＝0.所以，当0·＝·.