【培优练习】《二次函数与一元二次方程》（数学人教九上）

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1、《22.2二次函数与一元二次方程》培优练习一、选择题1.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点在(-3,0)和(-2,0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：(1)b2-4ac>0；(2)2a=b；(3)点(-72,y1)、(-32,y2)、(54,y3)是该抛物线上的点，则y1

2、B两点，线段OA与OB的比为1：3，则m的值为(　　)A.13或2B.13C.1D.21.已知：二次函数y=x2-4x-a，下列说法中错误的个数是(　　)①若图象与x轴有交点，则a≤4②若该抛物线的顶点在直线y=2x上，则a的值为-8③当a=3时，不等式x2-4x+a>0的解集是1

3、2-(2k-3)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．(1)求k的取值范围；(2)试说明x1<0，x2<0；(3)若抛物线y=x2-(2k-3)x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA·OB-3，求k的值．3.已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0．(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；(2)当抛物线y=kx2+(2k+1)x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P(a,y1)，Q(1,y2)是此抛物线上的两点，且y1>

4、y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点，求出定点坐标．答案和解析【答案】1.C2.D3.C4.解：(1)由题意可知：△=[-(2k-3)]2-4(k2+1)>0，即-12k+5>0                 ∴k<512.                             (2)∵x1x2=k2+1>0x1+x2=2k-3<0，∴x1<0，x2<0.                        (3)依题意，不妨设A(x1,0)，B(x2,0)．∴O

5、A+OB=

6、x1

7、+

8、x2

9、=-(x1+x2)=-(2k-3)，OA⋅OB=

10、x1

11、

12、x2

13、=x1x2=k2+1，∵OA+OB=2OA⋅OB-3，∴-(2k-3)=2(k2+1)-3，解得k1=1，k2=-2.                   ∵k<512，∴k=-2．  5.(1)证明：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=-2，方程有实数根，②当k≠0时，∵△=(2k+1)2-4k×2=(2k-1)2≥0，即△≥0，∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；(2)解：令y=0，则kx2+(2k+1)x+2=0，解关

14、于x的一元二次方程，得x1=-2，x2=-1k，∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k=1．∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2，由图象得到：当y1>y2时，a>1或a<-4．(3)依题意得kx2+(2k+1)x+2-y=0恒成立，即k(x2+2x)+x-y+2=0恒成立，则x-y+2=0x2+2x=0，解得y=2x=0或y=0x=-2．所以该抛物线恒过定点(0,2)、(-2,0)．  【解析】1.解：(1)由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=0有两个

15、不相等的实数根，∴△=b2-4ac>0，∴(1)正确；(2)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1，∴-b2a=-1，∴2a=b，∴(2)正确；(3)∵抛物线的对称轴为x=-1，点(54,y3)在抛物线上，∴(-134,y3).∵-72<-134<-32，且抛物线对称轴左边图象y值随x的增大而增大，∴y1

16、+a=0中△=b2-4a⋅a=0，∴抛物线y=at2+bt+a与x轴只有一个交点，∵图中抛物线开口向下，∴a<0，∴y=at2+bt+a≤0，即at2+bt≤-a=a-b．∴(5)正确．故选C．逐一分析5条结论是否正确：(1)由抛物线与x轴有两个不相同的交点结合根的判别式即可得出该结论正确；(2)根据抛物线的对称轴为