第六章第5讲直接证明和间接证明

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1、第5讲　直接证明和间接证明1．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法．(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又称为：执果索因法(逆推证法)．2．间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因

2、此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．[做一做]1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有(　　)A．2个　　　　　　　B．3个C．4个D．5个解析：选D.由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．2．(2015·山西太原模拟)用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设________．解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．答案：x≠－1且x≠11．辨明两个易误点(1)用分析法证明数学问题时，要注意

3、书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论；(2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．2．证题的三种思路(1)分析法证题的一般思路：分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．(2)综合法证题的一般思路：用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条

4、件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论．(3)反证法证题的一般思路：反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．[做一做]3．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足________．解析：由余弦定理cosA＝<0，所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.答案：a2>b2＋c2,[学生用书P114～P115])__综合法的应用(高频考点)________

5、______综合法证明是历年高考的热点问题，也是必考问题之一．通常在解答题中某一问出现，一般为中高档题，高考对综合法的考查常有以下三个命题角度：(1)三角函数、数列证明题；(2)几何证明题；(3)与函数、方程、不等式结合的证明题．　(1)(2015·山东烟台模拟)设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a和an的等差中项．①证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；②证明＋＋…＋<2.(2)设f(x)＝lnx＋－1，证明：当x>1时，f(x)<(x－1)．[解]　(1)①由已知得2Sn＝a＋an，且an

6、>0，当n＝1时，2a1＝a＋a1，解得a1＝1(a1＝0舍去)；当n≥2时，有2Sn－1＝a＋an－1.于是2Sn－2Sn－1＝a－a＋an－an－1，即2an＝a－a＋an－an－1.于是a－a＝an＋an－1，即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1.因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝1(n≥2)．故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，所以数列{an}的通项公式为an＝n.②证明：因为an＝n，所以Sn＝，则＝＝2，所以＋＋…＋＝2＝2<2.(2)证明：法一：记g(x)＝lnx＋－1－(x－1)，则当x>1时，g

7、′(x)＝＋－<0.又g(1)＝0，所以g(x)<0，即f(x)<(x－1)．法二：由均值不等式知，当x>1时，21时，f(x)<(x－1)．[规律方法]　(1)综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”；(2)利

8、用综合法证不等式时，是以基本不等式为基础，以不等式的性质为依据，进行推理论证的．因此，关键是找到与要证结论相