直接证明和间接证明.doc

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1、直接证明与间接证明目标要求：1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．考查角度[直接证明]1．(2013·课标全国卷Ⅰ)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则(　　)A．{Sn}为递减数列B．{Sn}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列解：在△A

2、1B1C1中，b1＞c1，b1＋c1＝2a1，∴b1＞a1＞c1.在△A2B2C2中，a2＝a1，b2＝，c2＝，b2＋c2＝2a1，∴c1＜b2＜a1＜c2＜b1.在△A3B3C3中，a3＝a2＝a1，b3＝＝，c3＝＝，b3＋c3＝2a1，∴a1＜b3＜c2，b2＜c3＜a1，∴c1＜b2＜c3＜a1＜b3＜c2＜b1.由归纳知，n越大，两边cn，bn越靠近a1且cn＋bn＝2a1，此时面积Sn越来越大，当且仅当cn＝bn＝a1时△AnBnCn的面积最大．【答案】　B2．(2013·北京高考)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列．该数列前n项的最大值记为A

3、n，第n项之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.(1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数．证明：dn＝－d(n＝1,2,3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1,2,3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.解：(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.(2)证明：(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤….

4、因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1,2,3，…)．(必要性)因为dn＝－d≤0(n＝1,2,3，…)，所以An＝Bn＋dn≤Bn.又因为an≤An，an＋1≥Bn，所以an≤an＋1.于是，An＝an，Bn＝an＋1.因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d，即{an}是公差为d的等差数列．(3)证明：因为a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.故对任意n≥1，an≥B1＝1.假设{an}(n≥2)中存在大于2的项．设m为满足am>2的最小正整数，则m≥2，并且对任意1≤k

5、以Am－1＝2，Am＝am>2，于是，Bm＝Am－dm>2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}≥2.故dm－1＝Am－1－Bm－1≤2－2＝0，与dm－1＝1矛盾．所以对于任意n≥1，有an≤2，即非负整数列{an}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1，an≤2＝a1，所以An＝2.故Bn＝An－dn＝2－1＝1.因此对于任意正整数n，存在m满足m>n，且am＝1，即数列{an}有无穷多项为1.[命题规律预测]命题规律从近几年高考试题看，高考对本节内容的考查主要体现在以下两点：1.对证明方法的考查主要以解答题的形式出现，且要求有较强的逻辑推理能力和综合能力．

6、2.与函数、数列、不等式等交汇命题，以解答题为主．考向预测预测2016年高考对本部分的考查主要与导数的应用，不等式的证明及数列的递推关系相结合，考查学生运用知识解决问题的能力，难度较大.考向一综合法【例1】　(2014·北京高考)如图1131，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积．图1131【思路点拨】　(1)利用已知条件转化为证明AB⊥平面B1BCC1；(2)取AB的中点G，

7、构造四边形FGEC1，证明其为平行四边形，从而得证；(3)根据题中数据代入公式计算即可．【解】　(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)因

8、为AA1＝AC＝2，BC