《二项式定理的简单应用》进阶练习（三）

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1、《二项式定理的简单应用》进阶练习一、选择题1.若的展开式中存在常数项，则n可以为（　　）A.8                  B.9                  C.10                D.112.若n∈N且n为奇数，则6n+C6n-1+C6n-2+…+C6-1被8除所得的余数是（　　）A.0                  B.2                  C.5                  D.73.记的展开式中第m项的系数为bm，若b3=2b4，则n=（　　）A.5                  B.6        

2、          C.7                  D.8二、填空题4.若C+2C+22C+…+2nC=729，且（3+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则a0-a1+a2-…+（-1）nan=______．三、解答题5.已知fn（x）=（1+2x）（1+22x）…（1+2nx）（n≥2，n∈N*）．（1）设fn（x）展开式中含x项的系数为an，求an．（2）设fn（x）展开式中含x2项的系数为bn，求证：bn+1=bn+2n+1an．（3）是否存在常数a，b，使bn=（2n-1-1）（2na+b）对一切n≥2且n∈N*恒成立？若不存在，说明理由；

3、若存在，求出a，b的值，并给出证明．参考答案1.C2.C3.A4.645.解：（1）根据多项式乘法的运算法则，fn（x）的展开式中x项的系数为an=2+22+23+…+2n=2n+1-2．（2）用为an、bn分别是fn（x）的展开式中x项、x2项的系数，则可设fn（x）=1+anx+bnx2+…，则fn+1（x）=fn（x）•（1+2n+1）=1+（an+2n+1）x+（bn+2n+1•an）x2+…，∴bn+1=bn+2n+1an．（3）假设存在a、b，使得bn=（2n-1-1）（2na+b）对一切n≥2且n∈N*恒成立，则b2=（2-1）（22a+b），即4a+b

4、=b2．①同理8a+b=b3．②又由f2（x）=1+6x+8x2，得a2=6，b2=8．从而b3=56，代入①、②得a=1，b=-1．　　猜想：bn=（2n-1-1）（2n-1）（n≥2）． 证明如下：（i）n=2时，已经证明成立；（ii）假设n=k时结论成立，即bk=（2k-1-1）（2k-1），则n=k+1时，bk+1=bk+2k+1ak=（2k-1-1）（2k-1）+2k+1（2k+1-2）=（2k-1）（2k+1-1），∴n=k+1时，结论成立，由（i）（ii）可得bn=（2n-1-1）（2n-1）（n≥2）．1.  解：的展开式通项为，若存在常数项，则2n-5

5、r=0有整数解，故2n=5r，n必为5的倍数，故选：C．先求出的展开式的通项公式，分析可得，若的展开式中存在常数项，则n必为5的倍数，从而得出结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．2.  解：根据题意，6n+Cn1•6n-1+Cn2•6n-2+…+Cnn-1•6-1=6n+Cn1•6n-1+Cn2•6n-2+…+Cnn-1•6+Cnn-2=（6+1）n-2=7n-2=（8-1）n-2=Cn0•8n-Cn1•8n-1+…+（-1）n-1Cnn-1•8+（-1）nCnn-2又由n为奇数，则6n+Cn1•6n-1+Cn2•6n-2+…+Cnn-

6、1•6-1=Cn0•8n-Cn1•8n-1+…+（-1）n-1Cnn-1•8-3，且Cn0•8n-Cn1•8n-1+…+（-1）n-1Cnn-1•8可以被8整除，则6n+Cn1•6n-1+Cn2•6n-2+…+Cnn-1•6-1被8除所得的余数是5．故选：C．根据题意，由二项式定理，可以将6n+Cn1•6n-1+Cn2•6n-2+…+Cnn-1•6-1变形为Cn0•8n-Cn1•8n-1+…+（-1）n-1Cnn-1•8+（-1）nCnn-2，又由n为奇数，则可得6n+Cn1•6n-1+Cn2•6n-2+…+Cnn-1•6-1=Cn0•8n-Cn1•8n-1+…+（-1

7、）n-1Cnn-1•8-3，分析可得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是根据二项式定理，灵活将6n+Cn1•6n-1+Cn2•6n-2+…+Cnn-1•6-1变形．3.  解：的展开式中第m项的系数为bm，若b3=2b4，可得=，可得，解得n=5．故选：A．直接利用二项式定理的通项公式表示方程，求解即可．本题考查二项式定理的应用，考查计算能力．4.  解：C+2C+22C+…+2nC=729=（1+2）n=3n=36．∴n=6，（3+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，x=-1时，26=a0-a1+a2-…+（-1）6a6=6