《二项式定理的简单应用》进阶练习（一）

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1、《二项式定理的简单应用》进阶练习一、选择题1.在（x-y）10的展开式中，x7y3的系数为（　　）A.-120            B.120              C.-240            D.2402.已知（2x-1）10=a0+a1x+a2x2++a9x9+a10x10，求a2+a3+…+a9+a10的值为（　　）A.-20              B.0                  C.1                  D.203.若（3x-1）7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，则a1+a3+a5+a7=（

2、　　）A.26-213        B.26+213        C.27-214        D.27+214二、填空题4.已知（+）n的展开式中仅有第5项二项式系数最大，则展开式中的有理项共有______项，分别是第______项．三、解答题5.已知p（x）=x，fn（x）=（1+x）n．（1）若g（x）=p（1）f5（x）+p（2）f6（x）+p（3）f7（x），求g（x）的展开式中x5的系数；（2）证明：C+2C+3C+…+nC=C（m，n∈N*）．参考答案1.A2.D3.A4.3；1、5、95.解：（1）由已知得g（x）=1（1+x）

3、5+2（1+x）6+3（1+x）7，∴g（x）的展开式中x5的系数为=76；（2）由（1）知C+2C+3C+…+nC为函数h（x）=（1+x）m+2（1+x）m+1+3（1+x）m+2+…+n（1+x）m+n的展开式的xm的系数，又（1+x）h（x）=（1+x）m+1+2（1+x）m+2+3（1+x）m+3+…+n（1+x）m+n+1， 两式相减得-xh（x）=（1+x）m+（1+x）m+1+（1+x）m+2+…+（1+x）m+n+1-n（1+x）m+n=，∴x2h（x）=（1+x）m-（1+x）m+n+nx（1+x）m+n，∴h（x）展开式中xm的

4、系数等于x2h（x）展开式中xm+2的系数为-=，∴C+2C+3C+…+nC=C（m，n∈N*）．1.  解：在（x-y）10的展开式中，通项公式为：Tr+1=•x10-r（-y）r=（-1）r••x10-r•yr，令r=3，得展开式中x7y3的系数为（-1）3•=-120．故选：A．根据二项展开式的通项公式，得出展开式中x7y3的系数即可．本题考查了二项式定理的应用问题，考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题目．2.  解：令x=1得，a0+a1+a2+…+a9+a10=1，再令x=0得，a0=1，所以a1+a2+…+a9+a10=0，又因

5、为a1=-20，代入得a2+a3+…+a9+a10=20．故选：D．本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1，又由于所求之和不含a0，令x=0，可求出a0的值，再求出a1=-20，代入即求答案．本题主要考查二项式定理的应用，一般再求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是-1进行求解．本题属于基础题型．3.  解：在（3x-1）7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0中，令x=1，可得27=a7+a6+…+a1+a0①，再令x=-1，可得47=-a7+a6-a5+…-a1+a0②，①-②可得2

6、（a1+a3+a5+a7）=27-47=27-214，∴a1+a3+a5+a7=26-213，故选：A．在所给的等式中，分别令x=1、x=-1，可以得到两个等式，再由所得的2个等式求得a1+a3+a5+a7的值．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．4.  解：∵二项式（+）n的展开式中仅有第5项二项式系数最大，∴n=8，则Tr+1=C8r（）8-r=C8r，当4-∈Z时，Tr+1为有理项，∵0≤r≤8且r∈Z，∴r=0，4，8符合要求，故有理项有3项

7、，分别为1、5、9项．故答案为：3；1、5、9．先根据二项式（+）n的展开式中仅有第5项二项式系数最大，可求得n的值，然后利用二项展开式的通项公式即可求得展开式中的有理项．本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别，考查分析与运算能力，属于中档题．5.  （1）利用二项式定理中展开式特点，发现g（x）的展开式中x5的系数为，计算可得；（2）由（1）可知等式的左边为函数h（x）=（1+x）m+2（1+x）m+1+3（1+x）m+2+…+n（1+x）m+n的展开式的xm的系数，利用错位相减法中午等比数列的求和形式解答．本

8、题考查了二项式定理的运用以及错位相减法求数列的和的问题．