【提升练习】 《一元二次方程根与系数的关系》 （数学北师大九上）

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1、《一元二次方程根与系数的关系》提升练习　合肥市第三十八中学徐晶一．选择题（共2小题）1．若一元二次方程x2+2x+m=0中的b2﹣4ac=0，则这个方程的两根为（　　）A．x1=1，x2=﹣1B．x1=x2=1C．x1=x2=﹣1D．不确定2．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（　　）A．a＜-211B．27＜a＜25C．a＞25D．-211＜a＜0　二．解答题（共3小题）3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）=0．（1）判断这个一元二次方程的根的情况；（2）若等腰三角形

2、的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣32成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使x1x2+x2x1﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k=﹣2，λ=x1x2，试求λ的值．5．已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2=0．（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）设x2+mx+m﹣2=0的两个实数根为x1，x2，若y=x12+x22+4x1x2，求出y与

3、m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若﹣1≤m≤2时，求y的取值范围．　参考答案一．选择题（共2小题）1．【解答】解：∵△=b2﹣4ac=0，∴4﹣4m=0，解得：m=1，∴原方程可化为：x2+2x+1=0，∴（x+1）2=0，∴x1=x2=﹣1．故选：C．　2．【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且△＞0，由（a+2）2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣27＜a＜25，∵x1+x2=﹣a+2a，x1x2=9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9+a+2a+

4、1＜0，解得-211＜a＜0，最后a的取值范围为：-211＜a＜0．故选D．方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+（a+2）x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x=1时，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，∴a＜﹣211（不符合题意，舍去），当a＜0时，x=1时，y＞0，∴a+（a+2）+9a＞0，∴a＞﹣211，∴﹣211＜a＜0，故选：D．　二．解答题（共3小题）3．【解答】解：（1）∵△=[﹣（2k+1）]2﹣4×4（k﹣12）=4k2﹣12k+9=（2k﹣3）2≥0，∴该方程有两个实数根；（2）①当3为底边长时，

5、△=（2k﹣3）2=0，∴k=32，此时原方程为x2﹣4x+4=0，解得：x1=x2=2．∵2、2、3能组成三角形，∴三角形的周长为2+2+3=7，三角形的面积为12×3×22-(32)2=374；②当3为腰长时，将x=3代入原方程，得：9﹣3×（2k+1）+4（k﹣12）=0，解得：k=2，此时原方程为x2﹣5x+6=0，解得：x1=2，x2=3．∵2、3、3能组成三角形，∴三角形的周长为2+3+3=8，三角形的面积为12×2×32-(22)2=22．综上所述：等腰三角形的周长为7或8，面积为374或22．　4．【解答】解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+

6、1=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=k+14k，∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22=2（x1+x2）2﹣9x1x2=2×12﹣9×k+14k=2﹣9(k+1)4k，若2﹣9(k+1)4k=﹣32成立，解上述方程得，k=95，∵△=16k2﹣4×4k（k+1）=﹣16k＞0，∴k＜0，∵k=95，∴矛盾，∴不存在这样k的值；（2）原式=x12+x22x1x2﹣2=(x12+x22)-2x1x2x1x2﹣2=(x1+x2)2+x1x2x1x2﹣4=﹣4k+1，∴k+1=1或﹣1，或2，或﹣2，或4，或﹣4解得k=0或﹣2，1，﹣3

7、，3，﹣5．∵k＜0．∴k=﹣2，﹣3或﹣5；（3）∵k=﹣2，λ=x1x2，x1+x2=1，∴λx2+x2=1，x2=1λ+1，x1=λλ+1，∵x1x2=k+14k=18，∴λ(λ+1)2=18，∴λ=3±32．　5．【解答】（1）证明：∵△=m2﹣4（m﹣2）=（m﹣2）2+4＞0，∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．（2）解：设x2+mx+m﹣2=0的两个实数根为x1、x2，∵x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣2，∴y=x12+x22+4x1x2=（x1+x2