【培优练习】 《一元二次方程根与系数的关系》 （数学北师大九上）

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1、《一元二次方程根与系数的关系》培优练习合肥市第三十八中学徐晶一．选择题（共3小题）1．若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（　　）A．k＜1B．k≤1C．k＜1且k≠0D．k≤1且k≠02．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（　　）A．2B．1C．0D．﹣13．若α、β为实数，且

2、α+β﹣3

3、+

4、αβ﹣2

5、=0，则下列方程中以α、β为根的一元二次方程正确的是（　　）A．x2+3x+2=0B．x2﹣3x﹣2=0C．x2+3x﹣2=0D．x2﹣3x+2=0二．填空题（共3小题）4．关于x的

6、一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　．5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1=0有实数根，则a的取值范围是　　．6．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是　　．　三．解答题（共4小题）7．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）当m为正整数时，求方程的根．8．计算（1）化简：1x-1+21-x2（2）关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根，求

7、m的取值范围．9．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若1x1+1x2=﹣1，求k的值．10．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若

8、x1+x2

9、=x1•x2﹣1，求k的值．　参考答案一．选择题（共3小题）1．【解答】解：（1）当k=0时，﹣6x+9=0，解得x=32；（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，∴△=（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1，由（1）、（2）得

10、，k的取值范围是k≤1．故选：B．　2．【解答】解：根据题意得：△=4﹣12（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，解得：a≤43，a≠1，则整数a的最大值为0．故选：C．　3．【解答】解：∵

11、α+β﹣3

12、+

13、αβ﹣2

14、=0，∴α+β﹣3=0，αβ﹣2=0，∴α+β=3，αβ=2，∴当a=1时，b=﹣3，c=2．故选：D．　二．填空题（共3小题）4．【解答】解：由已知得：△=4﹣4k＞0，解得：k＜1．故答案为：k＜1．　5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1=0有实数根，∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（a﹣1）≥0，解得a≤2，故答案为：a≤2

15、．　6．【解答】解：∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k，∵x12+x22=4，∴(x1+x2)2-2x1x2=4，（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，2k2+2k﹣4=0，k2+k﹣2=0，k=﹣2或1，∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，k≥0，∴k=1，∴x1•x2=k2﹣k=0，∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4．故答案为：4．　三．解答题（共4小题）7．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣

16、2）＞0．解得m＜2；（2）由（1）知，m＜2．有m为正整数，∴m=1，将m=1代入原方程，得x2﹣2x=0x（x﹣2）=0，解得x1=0，x2=2．　8．【解答】解：（1）1x-1+21-x2=﹣1+x(1+x)(1-x)+2(1+x)(1-x)=2-1-x(1+x)(1-x)=11+x；（2）∵关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根，∴△=32﹣4×2×（﹣m）＞0，解得m＞﹣98．　9．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，∴△=（2k+3）2﹣4k2＞0，解得：k＞﹣

17、34．（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=﹣-(2k+3)k2=﹣1，解得：k1=3，k2=﹣1，经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根．又∵k＞﹣34，∴k=3．　10．【解答】解：（1）由方程有两个实数根，可得△=b2﹣4ac=4（k﹣1）2﹣4k2=4k2﹣8k+4﹣4k2=﹣8k+4≥0，解得k≤12；答：k的取值范围是k≤12；（2）依据题意可得，x1+x2=2（k﹣1），x1x2=k2，由（1）可知k≤12，∴2（k﹣1）＜

18、0，x1+x2＜0，∴﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=x1+x2﹣1，∴﹣2（k﹣1）=k2﹣1，解得k1=