《一元二次不等式的解法》进阶练习（三）

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1、《一元二次不等式的解法》进阶练习一、选择题1.设集合，，则()A.        B.        C.        D.2.若关于x的不等式x2+ax-2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为（　　）A.（-，+∞）      B.[-，1]      C.（1，+∞）        D.（-∞，-1）3.不等式ex-x＞ax的解集为P，且[0，2]⊆P，则实数a的取值范围是（　　）A.（-∞，e-1）    B.（e-1，+∞）    C.（-∞，e+1）    D.（e+1，+∞）二、填空题4.已知

2、函数f（x）=，则不等式f（f（x））≤3的解集为______．三、解答题5.设0＜a＜1，集合A={x∈R

3、x＞0}，B={x∈R

4、2x2-3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．（1）求集合D（用区间表示）（2）求函数f（x）=2x3-3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．参考答案1.B2.A3.A4.（-∞，]5.解：（1）令g（x）=2x2-3（1+a）x+6a，△=9（1+a）2-48a=9a2-30a+9=3（3a-1）（a-3）．①当时，△≥0，方程g（x）=0的两个根分别为，所以g（x）＞0的解集为因

5、为x1，x2＞0，所以D=A∩B=②当时，△＜0，则g（x）＞0恒成立，所以D=A∩B=（0，+∞）综上所述，当时，D=；当时，D=（0，+∞）．（2）f′（x）=6x2-6（1+a）x+6a=6（x-a）（x-1），令f′（x）=0，得x=a或x=1，①当时，由（1）知D=（0，x1）∪（x2，+∞）因为g（a）=2a2-3（1+a）a+6a=a（3-a）＞0，g（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1≤0所以0＜a＜x1＜1≤x2，所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，a）a（a，x1）（x2，+∞

6、）f′（x）+0-+f（x）↗极大值↘↗所以f（x）的极大值点为x=a，没有极小值点．②当时，由（1）知D=（0，+∞）所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，a）a（a，1）1（1，+∞）f′（x）+0-0+f（x）↗极大值↘极小值↗所以f（x）的极大值点为x=a，极小值点为x=1综上所述，当时，f（x）有一个极大值点x=a，没有极小值点；当时，f（x）有一个极大值点x=a，一个极小值点x=1．1.  试题分析：.考点：1.指数不等式的解法；2.一元二次不等式的解法；3.集合的运算.2.  解：关于x的

7、不等式x2+ax-2＞0在区间[1，5]上有解，∴ax＞2-x2在x∈[1，5]上有解，即a＞-x在x∈[1，5]上成立；设函数f（x）=-x，x∈[1，5]，∴f′（x）=--1＜0恒成立，∴f（x）在x∈[1，5]上是单调减函数，且f（x）的值域为[-，1]，要a＞-x在x∈[1，5]上有解，则a＞-，即实数a的取值范围为（-，+∞）．故选：A．利用分离常数法得出不等式a＞-x在x∈[1，5]上成立，根据函数f（x）=-x在x∈[1，5]上的单调性，求出a的取值范围．本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了函数的

8、图象与性质的应用问题，是综合性题目．3.  解：①当x=0时，不等式e0-0＞0对任意实数x恒成立；②当x＞0时，不等式ex-x＞ax可变形为，由不等式ex-x＞ax的解集为P，且[0，2]⊆P⇔，x∈[0，2]．设，x∈（0，2]．g′（x）==，令g′（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x≤2时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．由此可知：当x=1时，函数f（x）取得极小值，也即最小值，且f（1）=e．∴1+a＜e，∴a＜e-1．故选A．由不等式ex-x＞ax的解

9、集为P，且[0，2]⊆P⇔，x∈[0，2]，利用导数求出即可．把问题正确等价转化并熟练掌握利用导数研究函数的极值是解题的关键．4.  解：当x≥0时，f（f（x））=f（-x2）=（-x2）2-2x2≤3，即（x2-3）（x2+1）≤0，解得0≤x≤，当-2＜x＜0时，f（f（x））=f（x2+2x）=（x2+2x）2+2（x2+2x）≤3，即（x2+2x-1）（x2+2x+3）≤0，解得-2＜x＜0，当x≤-2时，f（f（x））=f（x2+2x）=-（x2+2x）2≤3，解得x≤-2，综上所述不等式的解集为（-∞，]

10、故答案为：（-∞，]函数f（x）=，是一个分段函数，故可以将不等式f（f（x））≤3分类讨论，分x≥0，-2＜x＜0，x≤-2三种情况，分别进行讨论，综合讨论结果，即可得到答案．本题考查的知识点是分段函数的解析式，及不等式的解法，其中根据分段函数分段处理的原则，需要进行分类讨论，是解答本题的关键．5.  （1）根据题意先求不等式2