一元二次不等式的解法

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1、知识点一：一元二次不等式的定义　　只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：.任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或.知识点二：一般的一元二次不等式的解法设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：二次函数（）的图象注意：　　（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；　　（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；　　（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集。知识点三：解一元二次不等式的步骤　　（1

2、）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；　　（2）写出相应的方程，计算判别式：　　　①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；②时，求根；　　　③时，方程无解　　（3）根据不等式，写出解集.知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的过程规律方法指导1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解

3、集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数经典例题透析类型一：解一元二次不等式1．解下列一元二次不等式　　（1）；（2）；（3）　　思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.　　　　　　　　总结升华：　　1.初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；　　2.当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.　　3.当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.举一反三：　　【变式1】解下列不等式　　(1)；　

4、　　(2)　　(3)；　　　(4).　　【变式2】解不等式：　　类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数　　2．不等式的解集为，求关于的不等式的解集。　　　　总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。举一反三：　【变式1】不等式ax2+bx+12＞0的解集为{x

5、-3＜x＜2}，则a=_______,b=________。【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式.【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.　类型三：二次项系数

6、含有字母的不等式恒成立恒不成立问题　　3．已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。　　思路点拨：不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。　　　　总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。举一反三：【变式1】若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.　　　　【变式2】若关于的不等式的解为一切实数，求的取值范围.　　　　【变式3】若关于的不等式的解集为非空集，求的取值范围.　　类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法　　4．解下列关于x的不等式　　（1

7、）x2-2ax≤-a2+1；　　（2）x2-ax+1＞0；　　（3）x2-(a+1)x+a＜0；　　　总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；②求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。　　举一反三：【变式1】解关于x的不等式：　　　【变式2】解关于的不等式：（）　　　　5．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0。　　总结升华：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要

8、注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”。举一反三：　　【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；　　　　【变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-1＜0；　【变式3】解关于x的不等式：ax2-x+1＞0　　　学习成果测评基础达标：　　1．不等式x2－ax－12a2＜0（其中a＜0）的解集为（）　　A．（－3a，4a）　B．（4a，－3a）C．（－3，－4）　D．（2a，6a）