一元二次不等式的解法

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1、一元二次不等式的解法一、学习目标   1.掌握一元二次不等式的解法步骤,能熟练地求出一元二次不等式的解集。   2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。二、例题                                   第一阶梯例1什么是一元二次不等式的一般式?【解】一元二次不等式的一般式是:     ax2+bx+c(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)【评注】   1.一元二次不等式的一般式中,严格要求a>0,这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。   2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一,当a1<0时,将不等式乘-1就化成     

2、了“a>0”。例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么?【点拨】用函数的观点来回答。【解】   二次不等式、二次方程和二次函数的联系是:设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L,则不等式ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0的解集分别是抛物线L在x轴上方,在x轴下方的点的横坐标x的集合;二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的横坐标。【评注】   二次不等式、二次方程和二次函数的联系,通常称为“三个二次问题”,我们要深刻理解、牢牢掌握,并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系,不但能直接得到“二次不等式的解

3、集表”,而且还能解决“二次问题”的难题。例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。【解】一元二次不等式的解集表:记忆图    分类△>0△=0△<0ax2+bx+c>0(a>0)的解集(-∞,x1)∪(x2,+∞)(-∞,x0)∪(x0,+∞)Rax2+bx+c<0(a>0)的解集(x1,x2)【评注】   1.不要死记书上的解集表,要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。   2.二次方程的解集求法属于“根序法”(数轴标根)。例4、写出一元二次不等式的解法步骤。【解】一元二次不等式的解法步骤是:   1.化为一般式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)。这

4、步可简记为“使a>0”。   2.计算△=b2-4ac,判别与求根:解对应的二次方程ax2+bx+c=0,判别根的三种情况,△≥0时求出根。   3.写出解集:用区间或用大括号表示解集。             例:解不等式 x+2>3x2   解:原不等式等价于     3x2-x-2<0   解方程3x2-x-2=0得二根:,x2=1。   ∴原不等式的解集为(,1)。                                         第二阶梯例1、解下列不等式: (1)2+3x-2x2<0; (2)-x2+2x-3x>0; (3)x2-4x+4>0【解】(1)原不等式等价于

5、2x2-3x-2>0          由2x2-3x-2=0得,x2=2.          ∴原不等式的解集是     (2)原不等式等价于:x2-2x+3<0         由△=<0,知原不等式解集为。    (3)△=,方程有等根,         ∴原不等式的解集为{x

6、x∈R,且x≠2}。【评注】   1.要严格按“解法步骤”求解。   2.最后要用集合表示法表出解集。如本倒的(1)用区间表出解集;本例之(3)用大括号表出解集,该题的解集也可用区间表为,但有的同学把第(3)题的解集表为x≠2,这是错误的。例2、解不等式(1+x)(2-x)(x2+x+1)>0【探路】化为一元二次

7、不等式来解。【解】∵y=x2+x+1的判别式△=12<0,a=1>0     ∴对一切x∈R恒有x2+x+1>0,     ∴原不等式等价于       (1+x)(2-x)>0<0-1<x<2    ∴原不等式的解集为(-1,2)。例3、设全集为R,已知A={},求。【探路】解不等式化简集合A。【解】    ,……(1)     方程2x2-x-1=0的两根为     ∴不等式①的解集为[,1],     ∴A=[,1]     ∴例4、已知关于x的方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负数根,求实数m的取值范围。【探路】列出方程有两个负根的等价条件(不等式组),然后解不等式组。【解】已知方

8、程有两个负根的等价条件是         ∴m的取值范围是(]∪[1,+∞)【评注】   1.方程有两个负根包含两个负根相等的情形,故△≥0,因此列成△>0是错误的。又若只列成△≥0也是错误的,△≥0只能保证方程有实根,而不能保证有两个负根,所以还要联立x1x2>0,x1+x2<0的条件。   2.利用不等式讨论方程的根的情况,是不等式的重要应用。                         

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