一元二次不等式的解法

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1、一元二次不等式的解法一、学习目标   1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。   2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。二、例题                                   第一阶梯例1什么是一元二次不等式的一般式？【解】一元二次不等式的一般式是：     ax2+bx+c(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0)【评注】   1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。   2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当a1＜0时，将不等式乘－1就化成     

2、了“a＞0”。例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？【点拨】用函数的观点来回答。【解】   二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L，则不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的横坐标。【评注】   二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解

3、集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。【解】一元二次不等式的解集表：记忆图    分类△＞0△=0△＜0ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集（－∞，x1）∪（x2,＋∞）（－∞，x0）∪（x0，＋∞）Rax2+bx+c＜0(a＞0)的解集(x1，x2)【评注】   1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。   2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。例4、写出一元二次不等式的解法步骤。【解】一元二次不等式的解法步骤是：   1.化为一般式ax2+bx+c＞0(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0)。这

4、步可简记为“使a＞0”。   2.计算△=b2－4ac，判别与求根：解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。   3.写出解集：用区间或用大括号表示解集。             例：解不等式 x+2＞3x2   解：原不等式等价于     3x2－x－2＜0   解方程3x2－x－2=0得二根：，x2=1。   ∴原不等式的解集为（，1）。                                         第二阶梯例1、解下列不等式： （1）2+3x－2x2＜0； （2）－x2+2x－3x＞0； （3）x2－4x+4＞0【解】（1）原不等式等价于

5、2x2-3x-2>0          由2x2－3x－2=0得，x2=2.          ∴原不等式的解集是     （2）原不等式等价于:x2-2x+3<0         由△=＜0，知原不等式解集为。    （3）△=，方程有等根，         ∴原不等式的解集为{x

6、x∈R，且x≠2}。【评注】   1.要严格按“解法步骤”求解。   2.最后要用集合表示法表出解集。如本倒的（1）用区间表出解集；本例之（3）用大括号表出解集，该题的解集也可用区间表为，但有的同学把第（3）题的解集表为x≠2，这是错误的。例2、解不等式(1+x)(2-x)(x2+x+1)＞0【探路】化为一元二次

7、不等式来解。【解】∵y=x2+x+1的判别式△=12＜0，a=1＞0     ∴对一切x∈R恒有x2+x+1＞0，     ∴原不等式等价于       (1+x)(2-x)＞0＜0－1＜x＜2    ∴原不等式的解集为（－1，2）。例3、设全集为R，已知A={}，求。【探路】解不等式化简集合A。【解】    ，……（1）     方程2x2-x-1=0的两根为     ∴不等式①的解集为[，1]，     ∴A=[，1]     ∴例4、已知关于x的方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负数根，求实数m的取值范围。【探路】列出方程有两个负根的等价条件（不等式组），然后解不等式组。【解】已知方

8、程有两个负根的等价条件是         ∴m的取值范围是（]∪[1，＋∞）【评注】   1.方程有两个负根包含两个负根相等的情形，故△≥0，因此列成△＞0是错误的。又若只列成△≥0也是错误的，△≥0只能保证方程有实根，而不能保证有两个负根，所以还要联立x1x2>0,x1+x2<0的条件。   2.利用不等式讨论方程的根的情况，是不等式的重要应用。