2018_2019学年高中数学第一章推理与证明2综合法与分析法教案（含解析）北师大版

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1、2综合法与分析法综　合　法阅读下面的例题．例：若实数a，b满足a＋b＝2，证明：2a＋2b≥4.证明：因为a＋b＝2，所以2a＋2b≥2＝2＝2＝4，故2a＋2b≥4成立．问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．综合法(1)含义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法．(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”．(3)模式：综合法可以用以下的框图表示：→→→…→其中P为条件，Q为结论.分　析　法你们看过侦探小说《福尔摩斯探

2、案集》吗？尤其是福尔摩斯在探案中的推理，给人印象太深刻了．有时，他先假定一个结论成立，然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件，直到找到一个明显的证据．问题1：他的推理如何入手？提示：从结论成立入手．问题2：他又是如何分析的？提示：逐步探寻每一结论成立的充分条件．问题3：这种分析问题方法在数学问题证明中可以借鉴吗？提示：可以．分析法(1)含义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这种证明问题的思维方法称为分析法．(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”．(3)模式：若用Q表示要证明的结

3、论，则分析法可以用如下的框图来表示：→→→…→得到一个明显成立的条件　1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．综合法的应用[例1]　设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N＋)，其中m为常数，且m≠－3.(1)求证：{a

4、n}是等比数列；(2)若数列{an}的公比为q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N＋，n≥2)，求证：为等差数列．[思路点拨]　解题的关键是利用等差、等比数列的定义进行证明．[精解详析]　(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3，两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man，∴＝(m≠－3)，又m为常数，∴{an}为等比数列．(2)∵(3－m)Sn＋2man＝m＋3，∴(3－m)a1＋2ma1＝m＋3，又m≠－3，∴a1＝1，∴b1＝a1＝1，由(1)，可得q＝f(m)＝(m≠－3)，∴n∈N＋

5、且n≥2时，bn＝f(bn－1)＝·，∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1，又易知bn≠0，∴－＝.∴数列是首项为1，公差为的等差数列．[一点通]　综合法的解题步骤1．已知x>0，y>0，x＋y＝1，求证：≥9.证明：因为x＋y＝1，所以＝＝＝5＋2.又因为x>0，y>0，所以>0，>0.所以＋≥2，当且仅当＝，即x＝y＝时取等号．则有≥5＋2×2＝9成立．2．已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．解：f(a)＋f(c)>2f(b)．证明如下：因为a，

6、b，c是两两不相等的正数，所以a＋c>2.因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b，即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4，从而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.因为f(x)＝log2(x＋2)是增函数，所以log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)．故f(a)＋f(c)>2f(b).分析法的应用[例2]　当a＋b>0时，求证：≥(a＋b)．[思路点拨]　条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明，将要证明的不等式一步步转化为较简单的不等式．[精解详析]　要证≥(a＋b)，只需证()2

7、≥2，即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.因为a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，所以≥(a＋b)成立．[一点通]　分析法证明不等式的依据、方法与技巧(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(4)应用技巧：用分析法证明数学命