2018_2019学年高中数学第一章推理与证明2综合法与分析法教案(含解析)北师大版

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1、2综合法与分析法综 合 法阅读下面的例题.例:若实数a,b满足a+b=2,证明:2a+2b≥4.证明:因为a+b=2,所以2a+2b≥2=2=2=4,故2a+2b≥4成立.问题1:本题利用什么公式?提示:基本不等式.问题2:本题证明顺序是什么?提示:从已知到结论.综合法(1)含义:从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明的思维方法,称为综合法.(2)思路:综合法的基本思路是“由因导果”.(3)模式:综合法可以用以下的框图表示:→→→…→其中P为条件,Q为结论.分 析 法你们看过侦探小说《福尔摩斯探

2、案集》吗?尤其是福尔摩斯在探案中的推理,给人印象太深刻了.有时,他先假定一个结论成立,然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件,直到找到一个明显的证据.问题1:他的推理如何入手?提示:从结论成立入手.问题2:他又是如何分析的?提示:逐步探寻每一结论成立的充分条件.问题3:这种分析问题方法在数学问题证明中可以借鉴吗?提示:可以.分析法(1)含义:从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等.这种证明问题的思维方法称为分析法.(2)思路:分析法的基本思路是“执果索因”.(3)模式:若用Q表示要证明的结

3、论,则分析法可以用如下的框图来表示:→→→…→得到一个明显成立的条件 1.综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知,由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件.它的证明格式为:因为×××,所以×××,所以×××……所以×××成立.2.分析法证明问题时,是从“未知”看“需知”,执果索因逐步靠拢“已知”,通过逐步探索,寻找问题成立的充分条件.它的证明格式:要证×××,只需证×××,只需证×××……因为×××成立,所以×××成立.综合法的应用[例1] 设数列{an}的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N+),其中m为常数,且m≠-3.(1)求证:{a

4、n}是等比数列;(2)若数列{an}的公比为q=f(m),数列{bn}满足b1=a1,bn=f(bn-1)(n∈N+,n≥2),求证:为等差数列.[思路点拨] 解题的关键是利用等差、等比数列的定义进行证明.[精解详析] (1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减,得(3+m)an+1=2man,∴=(m≠-3),又m为常数,∴{an}为等比数列.(2)∵(3-m)Sn+2man=m+3,∴(3-m)a1+2ma1=m+3,又m≠-3,∴a1=1,∴b1=a1=1,由(1),可得q=f(m)=(m≠-3),∴n∈N+

5、且n≥2时,bn=f(bn-1)=·,∴bnbn-1+3bn=3bn-1,又易知bn≠0,∴-=.∴数列是首项为1,公差为的等差数列.[一点通] 综合法的解题步骤1.已知x>0,y>0,x+y=1,求证:≥9.证明:因为x+y=1,所以===5+2.又因为x>0,y>0,所以>0,>0.所以+≥2,当且仅当=,即x=y=时取等号.则有≥5+2×2=9成立.2.已知函数f(x)=log2(x+2),a,b,c是两两不相等的正数,且a,b,c成等比数列,试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系,并证明你的结论.解:f(a)+f(c)>2f(b).证明如下:因为a,

6、b,c是两两不相等的正数,所以a+c>2.因为b2=ac,所以ac+2(a+c)>b2+4b,即ac+2(a+c)+4>b2+4b+4,从而(a+2)(c+2)>(b+2)2.因为f(x)=log2(x+2)是增函数,所以log2(a+2)(c+2)>log2(b+2)2即log2(a+2)+log2(c+2)>2log2(b+2).故f(a)+f(c)>2f(b).分析法的应用[例2] 当a+b>0时,求证:≥(a+b).[思路点拨] 条件和结论的联系不明确,考虑用分析法证明,将要证明的不等式一步步转化为较简单的不等式.[精解详析] 要证≥(a+b),只需证()2

7、≥2,即证a2+b2≥(a2+b2+2ab),即证a2+b2≥2ab.因为a2+b2≥2ab对一切实数恒成立,所以≥(a+b)成立.[一点通] 分析法证明不等式的依据、方法与技巧(1)解题依据:分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论;(2)适用范围:对于一些条件复杂,结构简单的不等式的证明,经常用综合法.而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明,常用分析法;(3)思路方法:分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式;(4)应用技巧:用分析法证明数学命

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