2018_2019学年高中数学第一章推理与证明1归纳与类比教案（含解析）北师大版

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1、1归纳与类比归纳推理问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？提示：都能导电．问题2：由问题1你能得出什么结论？提示：一切金属都能导电．问题3：若数列{an}的前四项为2,4,6,8，试写出an.提示：an＝2n(n∈N＋)．问题4：上面问题2、3得出结论有何特点？提示：都是由几个特殊事例得出一般结论．归纳推理的定义及特征定义特征　　根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，将这种推理方式称为归纳推理.　　归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.类比推理问题1：试

2、写出三角形的两个性质．提示：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的面积等于高与底乘积的.问题2：你能由三角形的性质推测空间四面体的性质吗？试写出来．提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的.问题3：试想由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么．提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊．类比推理的定义及特征定义特征　　由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，把这种推理

3、过程称为类比推理.　　类比推理是两类事物特征之间的推理.合情推理与演绎推理1．合情推理的含义(1)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．2．演绎推理的含义演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．1．归纳推理的特点：(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；(2)一般地，如果归纳

4、的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．2．类比推理的特点：(1)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象；(2)如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠；(3)由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理不能作为数学证明的工具．数与式的归纳[例1]　(1)已知下列各式：1>，1＋＋>1，1＋＋＋＋＋＋>，1＋＋＋…＋>2，…，请你归纳出一般性结论：______________.(2)已知f(x)＝

5、，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________．[思路点拨]　(1)观察左边最后一项分母的特点为2n－1，不等式右边为，由此可得一般结论．(2)根据关系式，求出前几项的函数值，归纳出一般性结论．[精解详析]　(1)观察不等式左边，各项分母从1开始依次增大1，且终止项为2n－1，不等式右边依次为，，，，…，从而归纳得出一般结论：1＋＋＋…＋>.(2)∵f(x)＝，∴f1(x)＝.又∵fn(

6、x)＝fn－1(fn－1(x))，∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，f4(x)＝f3(f3(x))＝＝，f5(x)＝f4(f4(x))＝＝，∴根据前几项可以猜想fn(x)＝.[答案]　(1)1＋＋＋…＋>(2)f3(x)＝　fn(x)＝[一点通]　1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论

7、．2．数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．1．观察下列不等式：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……照此规律，第五个不等式为(　　)A．1＋＋＋＋

8、，x＋＝＋＋＋≥4，……归纳得：x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a＝________.解析：当n＝1时，a＝1，当n＝2时，a＝4＝22，当n＝3时，a＝27＝33，…∴当分母指数取n时，a＝nn.答案：nn3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n＝1,2,3，…)．(1)求a2，a3，a4；(2)归纳猜想数列{an}的通项公