2018_2019学年高中数学第三章推理与证明3综合法与分析法教案（含解析）北师大版

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1、3综合法与分析法综合法阅读下面的例题．例：若实数a，b满足a＋b＝2，证明：2a＋2b≥4.证明：因为a＋b＝2，所以2a＋2b≥2＝2＝2＝4，故2a＋2b≥4成立．问题1：本题利用了什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．综合法(1)含义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法．(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”．(3)模式：综合法可以用以下的框图表示：→→→…→其中P为条件，

2、Q为结论.分析法你们看过侦探小说《福尔摩斯探案集》吗？福尔摩斯在探案中的推理，给人印象太深刻了．有时，他先假定一个结论成立，然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件，直到找到一个明显的证据．问题1：福尔摩斯的推理如何入手？提示：从结论成立入手．问题2：他又是如何分析的？提示：逐步探寻每一结论成立的充分条件．问题3：这种分析问题方法在数学问题的证明中可以借鉴吗？提示：可以．分析法(1)含义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这种证明问题的

3、思维方法称为分析法．(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”．(3)模式：若用Q表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．综合法的应用[例1]　已知a，b

4、是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.[思路点拨]　由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．[精解详析]　法一：∵a，b为正数，且a＋b＝1，∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.法二：∵a，b为正数，∴a＋b≥2＞0，＋≥2＞0，∴(a＋b)≥4，又a＋b＝1，∴＋≥4.法三：∵a，b为正数，∴＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，取“＝”号．[一点通]　综合法的解题步骤1．在△ABC中，＝，证明B＝C.证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得＝.于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－

5、C)＝0，因为－π0时，求证：≥(a＋b)．[思路点拨]　条件和结论的联系不明

6、确，考虑用分析法证明，将要证明的不等式一步步转化为较简单的不等式．[精解详析]　要证≥(a＋b)，只需证()2≥2，即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.因为a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，所以≥(a＋b)成立．[一点通]　分析法是“执果索因”，一步步寻找结论成立的充分条件．它是从求证的结论出发，逆向分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它的常见书写表达式是“要证……，只需证……”．3．求证：＋<＋.证明：欲证不等式＋<＋成

7、立，只需证3＋2＋6<4＋2＋5成立，即证<成立，即证18<20成立．由于18<20成立，故＋<＋.4.如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求证：AF⊥SC.证明：要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC)．只需证AE⊥平面SBC，只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB)，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC)，由SA⊥平面ABC可知，BC⊥SA成立．∴AF⊥SC.综合法和分析法的应用[例3]　已知△ABC的三个

8、内角A，B，C成等差数列，记A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：＋＝.[思路点拨]　综合分析此题，利用等差数列的性质及余弦定理即可得证．[精解详析]　要证＋＝，只需证＋＝3，即证明＋＝1，所以只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即证明c2＋a2＝ac＋b2.(*)∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴∠B＝60°.