2018_2019学年高中数学第三章推理与证明1.1.2类比推理教案（含解析）北师大版

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1、1．2　类比推理　　　类比推理三角形有下面两个性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的面积等于高与底乘积的.问题1：你能由三角形的这两个性质推测空间四面体的性质吗？试写出来．提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的.问题2：由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么？提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊．定义特征　　由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，

2、把这种推理过程称为类比推理.　　类比推理是两类事物特征之间的推理.合情推理合情推理的含义(1)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．1．类比推理是从人们已经掌握了的事物特征，推测正在被研究中的事物的特征．所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠；2．类比推理以旧的知识作为基础，推测新的结果，具有发现功能．平面图形与空间几何体的类比[例1]　找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关

3、性质．(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦；(2)与圆心距离相等的两弦长相等；(3)圆的周长C＝πd(d是直径)；(4)圆的面积S＝πr2.[思路点拨]　先找出相似的性质再类比，一般是点类比线、线类比面、面积类比体积．[精解详析]　圆与球有下列相似的性质：(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.圆球圆心与弦(非直

4、径)中点的连线垂直于弦球心与截面(不经过球心的小圆面)圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面的面积相等圆的周长C＝πd球的表面积S＝πd2圆的面积S＝πr2球的体积V＝πr3[一点通]　解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：平面图形立体图形点点、线直线直线、平面边长棱长、面积面积体积三角形四面体线线角面面角平行四边形平行六面体圆球1．下面类比结论错误的是(　　)A．由“若△ABC一边长为a，此边上的高为h，则

5、此三角形的面积S＝ah”类比得出“若一个扇形的弧长为l，半径为R，则此扇形的面积S＝lR”B．由“平行于同一条直线的两条直线平行”类比得出“平行于同一个平面的两个平面平行”C．由“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”类比得出“在空间中，垂直于同一个平面的两个平面平行”D．由“三角形的两边之和大于第三边”类比得出“凸四边形的三边之和大于第四边”解析：选C　只有C中结论错误，因为两个平面还有可能相交．2.如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的

6、对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体PABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.定义、定理与性质的类比[例2]　类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质．[精解详析]　①两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是向量；②从运算律的角度考虑，

7、它们都满足交换律和结合律，即：a＋b＝b＋a，a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；③从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即a＋x＝0与a＋x＝0都有唯一解，x＝－a与x＝－a；④在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a＋0＝a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即a＋0＝a.[一点通]　运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，本例中实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆

8、运算，而且实数0与零向量0分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位．因此我们可以从这四个方面进行类比．3．试根据等式的性质猜想不等式的性质并填写下表.等式不等式a＝b⇒a＋c＝b＋c①a＝b⇒ac＝bc②a＝b⇒a2＝b2③答案：①a>b⇒a＋c>b＋c　②a>b⇒ac>bc(c>0)③a>b>0⇒a2>b2(说明：“>”也可改为“<”)4．已知等差数列{a