2018_2019学年高中数学第三章推理与证明1.2类比推理学案北师大版

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1、1.2　类比推理学习目标　1.了解类比推理的含义，能进行简单的类比推理.2.正确认识合情推理在数学中的重要作用．知识点一　类比推理思考　科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？答案　类比推理．梳理　类比推理的定义及特征定义由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理特征①类比推理

2、是两类事物特征之间的推理；②利用类比推理得出的结论不一定是正确的知识点二　合情推理思考　归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案　区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．梳理　合情推理的定义及分类定义：根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．分类：常见的合情推理有归纳推理与类比推理．1．由平面三角形的性质推测四面体的性质是类比推理．(　√　)2．类比推理是从特殊到特殊的推理．(　√　)3．合乎情理的推理一定是正确的

3、．(　×　)类型一　平面图形与立体图形间的类比例1　如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝，类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝K，则H1＋2H2＋3H3＋4H4等于多少？考点　类比推理的应用题点　类比推理的方法、形式和结论解　对平面凸四边形：S＝a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4＝(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)＝(h1＋2h2＋3h3＋4h4)，所以h1＋2h2＋3h3

4、＋4h4＝；类比在三棱锥中，V＝S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝(KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4)＝(H1＋2H2＋3H3＋4H4)，故H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.反思与感悟　(1)类比推理的一般步骤(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：平面图形空间图形点直线直线平面边长面积面积体积三角形四面体线线角面面角跟踪训练1　在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面

5、积间的关系，可以得出的结论是_____________________________________________．考点　类比推理的应用题点　平面几何与立体几何之间的类比答案　设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两互相垂直，则S＋S＋S＝S解析　类比条件：两边AB，AC互相垂直侧面ABC，ACD，ADB互相垂直．结论：AB2＋AC2＝BC2S＋S＋S＝S.类型二　数列中的类比推理例2　在等差数列{an}中，若a10＝0，证明：等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，并类比上述性质相应的在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式_

6、____成立．考点　类比推理的应用题点　等差数列与等比数列之间的类比答案　b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)解析　在等差数列{an}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.相应地，类比此性质在等比数列{bn}中，可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<1

7、7，n∈N＋)．反思与感悟　(1)运用类比思想找出项与项的联系，应用等差、等比数列的性质解题是解决该题的关键．(2)等差数列和等比数列有非常类似的运算和性质，一般情况下等差数列中的和(或差)对应着等比数列中的积(或商)．跟踪训练2　设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．