高中数学 第一章 推理与证明 2 综合法与分析法教学案 北师大版选修2-2

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1、§2综合法与分析法综　合　法阅读下面的例题．例：若实数a，b满足a＋b＝2，证明：2a＋2b≥4.证明：因为a＋b＝2，所以2a＋2b≥2＝2＝2＝4，故2a＋2b≥4成立．问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．综合法(1)含义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法．(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”．(3)模式：综合法可以用以下的框图表示：→→→…→其中

2、P为条件，Q为结论.分　析　法你们看过侦探小说《福尔摩斯探案集》吗？尤其是福尔摩斯在探案中的推理，给人印象太深刻了．有时，他先假定一个结论成立，然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件，直到找到一个明显的证据．问题1：他的推理如何入手？非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。提示：从结论成立入手．问题2：他又是如何分析的？提示：逐步探寻每一结论成立的充分条件．问题3：这种分析问题方法在数学问题证明中

3、可以借鉴吗？提示：可以．分析法(1)含义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这种证明问题的思维方法称为分析法．(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”．(3)模式：若用Q表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：→→→…→得到一个明显成立的条件　1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问

4、题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．综合法的应用[例1]　已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。[思路点拨]　由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．[精解详析]　法一：∵a，b为正数，且a＋b＝1，

5、∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.法二：∵a，b为正数，∴a＋b≥2＞0，＋≥2＞0，∴(a＋b)≥4，又a＋b＝1，∴＋≥4.法三：∵a，b为正数，∴＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，取“＝”号．[一点通]　从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其逐步推理，实际上是寻找每一步的必要条件，如何找到“切入点”和有效的推理途径是利用综合法证明问题的关键．1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝，试证明A，B，C成等差数列．证明：∵＋＝，非常感谢上级领导对我的信任

6、，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。∴＋＝3，∴＋＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝＝＝，∵0°

7、．解：f(a)＋f(c)>2f(b)．证明如下：因为a，b，c是两两不相等的正数，所以a＋c>2.因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b，即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4，从而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.因为f(x)＝log2(x＋2)是增函数，所以log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)．故f(a)＋f(c)>2f(b).分析法的应用[例2]　当a＋b>0时，求证：≥(a＋b)．[思路点拨]　条件和结论的联系不

8、明确，考虑用分析法证明，将要证明的不等式一步步转化为较简单的不等式．[精解详析]　要证≥(a＋b)，非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。只需证()2≥2，即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.因为a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，所以≥(a