资源描述：
《高中数学 第一章 推理与证明 2 综合法和分析法例题与探究 北师大版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中数学第一章推理与证明2综合法和分析法例题与探究北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.综合法和分析法综合法是证明不等式时一种较为简捷的方法,其简捷之处就在于直接运用了不等式的有关定理、性质来解决问题.当然,要想运用定理、不等式,必须具备相应的条件,另外,在证题过程中,要能够通过对条件与结论及不等式两端的差距与联系的比较、分析,制定出合理的解题策略,并加以实施.分析法是证明不等式的一种常用的方法,通常情况下,当一个不等式无法利用比较法和综合法加以证明时,可以采用这一方法.这一方法对于一些条件较为简单而结论复杂的问题往往特别有效.2.用“分析——综合法”证明问
2、题既然是分析——综合法,所以既有分析法又有综合法,两者应有机地结合起来.“分析——综合法”又叫混合型分析法,是同时从已知条件与结论出发,寻求其间的联系而沟通思路的方法.具体来说,一方面从问题的已知条件出发,用前进型分析法经逻辑推理导出中途结果;另一方面从问题的结论出发,用追溯型分析法回溯到中间,即导出同一个中间结果,从而沟通思路使问题得到解决.由于其兼有分析综合的双重性质,因而称为“分析——综合法”,其方法结构如图所示.高手支招4典例精析【例1】设a＞0,b＞0,a+b=1.求证:++≥8.思路分析：要证不等式是在已知条件下,从不等式的结构及其与已知条件间的关
3、系来观察,可用综合法证之.证明：∵a＞0,b＞0,a+b=1,∴1=a+b≥2,∴≤,∴≥4.∴++=(a+b)(+)+≥2·2+4=8,∴++≥8.【例2】已知α、β≠kπ+(k∈Z),且sinθ+cosθ=2sinα,sinθ·cosθ=sin2β.求证:.思路分析：比较已知条件和结论,发现结论中没有出现角θ,所以首先要消去它.然后由式子的结构特点,将切化弦统一函数名后分析比较不难得到结论.证明：因为(sinθ+cosθ)2-2sinθ·cosθ=1,将已知代入上式得:4sin2α-2sin2β=1.①另一方面,要证,即证,即证cos2α-sin2α=(c
4、os2β-sin2β),即证1-2sin2α=(1-2sin2β),即证4sin2α-2sin2β=1.由于上式与①式相同,于是问题得证.【例3】已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z2≥.思路分析：可由条件x+y+z=1,联想到通过直接对所要证明的结论左边的代数式的变式,再利用条件x+y+z=1,得到结果.若不能发现本题的特点,可以利用分析法来加以证明.证法一(综合法):∵x2+y2+z2=［3(x2+y2+z2)］=［x2+y2+z2+(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)］≥(x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx)=(x+y+z)2=,∴x
5、2+y2+z2≥.证法二(分析法):∵x+y+z=1,为了证明x2+y2+z2≥,只需证明3x2+3y2+3z2≥(x+y+z)2,即3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx,即2x2+2y2+2z2≥2xy+2yz+2zx,即(x2-2xy+y2)+(y2-2xy+z2)+(z2-2zx+x2)≥0,即(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≥0.∵(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≥0成立,∴x2+y2+z2≥成立.【例4】（2006辽宁高考，理18文19）已知正方形ABCD,E、F分别是AB、CD的中点,将△ADE沿DE折起
6、,如图所示.记二面角A-DE-C的大小为θ(0＜θ＜π).(1)证明BF∥平面ADE;(2)若△ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角θ的余弦值.思路分析：本题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识,考查空间想象能力和思维能力.(1)解：证明：E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点,∴EB∥FD,且EB=FD.∴四边形EBFD是平行四边形.∴BF∥ED.∵ED平面AED,而BF平面AED.∴BF∥平面AED.(2)解法一:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG⊥平面BCDE,垂
7、足为G,连结GC、GD.∵△ACD为正三角形,∴AC=AD.∴GC=GD.∴G在CD的垂直平分线上.又∵EF是CD的垂直平分线,∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.过G作GH⊥ED,垂足为H.连结AH,则AH⊥DE,∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG=θ.设原正方形ABCD的边长为2a,连结AF.在折后图的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,∴△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF.∴AG=a.在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE.∴AH=.∴GH=.∴cosθ==.解法二:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,连结
8、AF,在平面AEF内过点A作AG′⊥E
