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《高中数学 第一章 推理与证明 2 综合法和分析法同步练习 北师大版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中数学第一章推理与证明2综合法和分析法同步练习北师大版选修2-2高手支招6体验成功基础巩固1.设a＋b＝1,且a＞0,b＞0.求证:（a+）2+(b+)2≥.证明：(a+)2+(b+)2≥(a2+b2)+(+)+4≥(a2+b2)+(+)≥.∵ab≤()2=,∴≥4,∴+≥≥8.又∵a2+b2≥,∴(a2+b2)+()≥,∴(a+)2+(b+)2≥.思路分析：由于式子化简后可产生常见不等式中的形式,所以用综合法加以证明.2.已知a,b＞0，求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明：∵b2+c2≥2bc,a＞0,∴a(b2+c2)≥2abc.
2、又∵c2+a2≥2ac,b＞0,∴b(c2+a2)≥2abc.∴a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.思路分析：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.3.若=1(a,b,x,y＞0,且a≠b),求证:x+y≥(+)2.答案：证明：∵a,b,x,y＞0,且+=1,∴x+y=(x+y)(+)=a+b++≥a+b+2=()2.∴原不等式成立.思路分析：利用已知条件把a,b与x,y的关系相互转化,也就是通过1的代入把x+y转换为a,b.4.求证:+＜2+.证明:要证原不等式成立,只需证()2＜(2+)2
3、,即证10+2＜10+2,也即证＜,∵21＜24,∴＜.从而原不等式＜2+成立.思路分析：无理数大小的比较通常利用乘方转化为有理数再比较.5.已知a＞b＞c,且a+b+c=0,求证:＜.证明:∵a＞b＞c,且a+b+c=0,∴a＞0,c＜0,要证原不等式成立,只要证＜a,即证b2-ac＜3a2,也即证(a+c)2-ac＜3a2,即(a-c)(2a+c)＞0,∵a-c＞0,2a+c=(a+c)+a=a-b＞0.∴(a-c)(2a+c)＞0成立,故原不等式成立.思路分析：由已知很难找到直接证出结论的方法,所以可以采用分析法,依次找结论成立的充分条件探索解题的思路
4、.6.在锐角三角形中,求证:sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC.证明:∵锐角三角形中,A+B＞,∴A＞-B.∴0＜-B＜A＜,又∵在(0,)内正弦函数是单调递增函数,∴sinA＞sin(-B)=cosB,即sinA＞cosB.①同理sinB＞cosC,②sinC＞cosA.③由①+②+③得,sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC.思路分析：此题采用综合法通过构造角的不等式转化为利用三角函数的单调性来证明,此法比常用的和差化积形式简单.7.已知:a、b、c是不全相等的正数,且0＜x＜1.求证:logx+logx+lo
5、gx＜logxa+logxb+logxC.证明:要证明logx+logx+logx＜logxa+logxb+logxc,只需要证明logx［··］＜logx(abc).由已知0＜x＜1,只需证明··＞abc.由公式知≥＞0,≥＞0,≥＞0.∵a、b、c不全相等,上面三式相乘,··＞=bc,即··＞abc成立.∴logx+ogx+logx＜logxa+logxb+logxc成立.思路分析：由于式子较为复杂,不易找到证明思路,所以考虑用分析法证明.8.如图:E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点,平面a过EH分别交BC、CD于F、G.求证:EH∥FG
6、.证明:连结BD.∵E、H分别是AB、AD的中点.∴EH∥BD.又BD面BCD,EH面BCD,∴EH∥面BCD.又EHa、a∩面BCD＝FG,∴EH∥FG.思路分析：直接应用立体几何中的直线与平面平行的性质定理即可证明,要注意灵活应用直线与平面平行的判定与性质定理.综合应用9.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.(1)求证AC⊥BC1;(2)求证AC1//平面CDB1;(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.答案：(1)证明：∵直三棱柱ABC—A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB
7、=5,∴AC⊥BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,∴AC⊥BC1.(2)证明：设CB1与C1B的交点为E,连结DE,∵D是AB的中点,E是BC1的中点,∴DE//AC1,∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1,∴AC1//平面CDB1.(3)解：∵DE//AC1,∴∠CED为AC1与B1C所成的角,在△CED中ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，∴cos∠CED=.∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.思路分析：本题是考查平行垂直的论证及异面直线所成角的求法.要充分分析题目中的平行垂直条件,可以用立体几何方法来证,也可以6用向量法来证.
8、10.已知动圆过定点（,0）,且与直线x=相切,其中
