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《高中数学 第一章 推理与证明 2 综合法和分析法教材习题点拨 北师大版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中数学第一章推理与证明2综合法和分析法教材习题点拨北师大版选修2-2练习(P9)证明:a,b是实数,(a-b)2≥0,a2+b2≥2ab,2a2+2b2≥a2+b2+2ab,2a2+2b2≥(a+b)2,a2+b2≥(a+b)2,所以,≥(a+b).思路分析：:要注意利用（a-b）2≥0,及(a-b)2=a2-2ab+b2,(a+b)2=a2+2ab+b2.练习1(P11)1.证明:要证明待证的结论＜(a＞3),只需要证明+＜+,只需要证明(+)2＜(+)2,只需要证明a+2+(a-3)＜(a-1)+2+(a-2)只需要证明＜即＜只需要证明a(a-3
2、)＜(a-1)(a-2),a2-3a＜a2-3a+2,即0＜2,这显然成立.2.证明:设正方体的边长为a,它的体积为V=a3;球的半径为r,它的体积为V′=πr3.考虑待证的结论“球的体积大于正方体的体积”,即要证V′＞V,只需要证明πr3＞a3,只需要证明r3＞a3,只需要证明r3＞0.2388a3,只需要证明r＞a,即r＞0.620409a.由于球的表面积和正方体的表面积相等,即4πr2=6a2,r2=a2,r=a≈0.691a.可以看出:r=0.691a＞0.620409a.思路分析：以相应的表面积和体积公式为基础,层层倒推,推出中间结论即可证明
3、.练习2(P12)证明:考虑待证的结论“∠DAE=∠BAF”,即2∠DAE=∠BAF.只需证明2∠DAE=90°-∠DAF,只需证明sin2∠DAE=sin(90°-∠DAF),只需证明2sin∠DAEcos∠DAE=cos∠DAF,只需证明2·=,只需证明2DE·AF=AE2,只需证明2DE·=AD2+DE2,因为AD=CD,CE=CD,CF=CD,所以,AD=4EF,DE=2EF,DF=3EF.故只需证明2·(2EF)=(4EF)2+(2EF)2,即20EF2=20EF2，这显然成立.思路分析：:此题倒推过程比较复杂,推导过程中要注意运用勾股定理和
4、三角函数的相关知识。习题12(P12)1.证明:a＞0,b＞0,∵(a-b)2≥0,a2-2ab+b2≥0,∴a2+b2≥2ab,≤.∴(a+b)2=a2+b2+2ab≥4ab,(a+b)2=a2+b2+2ab≤4(a2+b2).∴a+b≥=2,≥,≤,∴≤=.综上所述,可以得出≤≤≤.思路分析：:证明本题时可以利用综合法,证明过程中注意巧妙利用差的平方公式与和的平方公式及其变形.2.证明:a,b,c∈R,有a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,也就有2(a2+b2)≥a2+b2+2ab,2(b2+c2)≥b2+c2+2bc,2(
5、c2+a2)≥c2+a2+2ca,2(a2+b2)≥(a+b)2,2(b2+c2)≥(b+c)2,2(c2+a2)≥(c+a)2,≥,≥,≥,以上三式相加得:++≥++=(a+b+c).3.证明:设x1,x2∈(2,+∞),且x1＞x2,==,因为x1＞x2＞2,所以x1-x2＞0,x1+x2-4＞0,＞1.因此＞1,y1＞y2.所以y=在区间(2,+∞)上是递增的.4.证明:∵
6、a
7、2+
8、b
9、2=a2+b2≥2
10、a
11、
12、b
13、=2
14、ab
15、,
16、c
17、2+
18、d
19、2=c2+d2≥2
20、c
21、
22、d
23、=2
24、cd
25、,且a2+b2=1,c2+d2=1,∴2
26、ab
27、+2
28、cd
29、
30、≤2,
31、ab
32、+
33、cd
34、≤1.又因为
35、ab
36、+
37、cd
38、≥
39、ab+cd
40、,所以
41、ab+cd
42、≥1.思路分析：:证明过程中要注意运用不等式的相关性质:a2+b2≥2ab和
43、a
44、+
45、b
46、≥
47、a+b
48、.5.证明:考虑待证的结论“
49、
50、≤1”,只需证明
51、x+y
52、≤
53、1+xy
54、,只需证明(x+y)2≤(1+xy)2,只需证明x2+y2+2xy≤1+2xy+x2y2,即x2+y2≤1+x2y2只需证明x2+y2-(1+x2y2)≤0,即(y2-1)≤0,即需证明(x2-1)(1-y2)≤0.即(1-x2)(1-y2)≥0.只需证明1-x2≤0,1-y2≤0,只需证明
55、1≤x2,1≤y2,因为
56、x
57、≤1,
58、y
59、≤1,所以1≤x2,1≤y2.这就证明了结论.思路解析：注意证明时要主动运用分析法,并逐步向结论靠拢.6.证明:x＞0,当x∈［0,］时,如图所示:作单位圆,弧=r·∠AOB=1·x=x,sinx==AB因为＞AC,而AC＞AB,所以＞AB,也就有x＞sinx.当x∈(,∞)时,可以看出x＞＞1,而sinx≤1,因此有x＞sinx.综上所述,当x＞0时,有x＞sinx.思路分析：证明时要注意进行分类讨论:在x∈［0,］和x∈(,∞)两个区间中分别进行证明，还要注意利用单位圆和相关的弧长公式.7.证明:由于a+b
60、+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比数列,且公比为q,则有:=q,=q2,=q3,q
