第五章第2讲等差数列及其前n项和

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1、第2讲　等差数列及其前n项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充分条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝．3．等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝

2、am＋an．(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．[做一做]1．(2014·高考福建卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于(　　)A．8　　　　　　　B．10C．12D．14答案：C2．已知等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则ca1，ca2，ca3，…，can(c为常数且c≠0)是(　　)A．公差为d的等差数列B．公差为cd的等差数列C．非等差数列D．以上都不对答案：B1．辨明两个易误

3、点(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．2．妙设等差数列中的项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．3．等差数列的四种判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数

4、)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列．[做一做]3．(2013·高考重庆卷)若2，a，b，c，9成等差数列，则c－a＝________．解析：由题意得该等差数列的公差d＝＝，所以c－a＝2d＝.答案：4．若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－4，则an＝________．解析：由3an＋1＝3an－4，得an＋1－an＝－，所以{an}是等差数列，首项a1＝15，公差d＝－，所以an＝15－(n－1)＝.答案：__等差数列的基本运算(高频考点)________等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多出现在

5、选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属容易题．高考对等差数列基本量计算的考查常有以下三个命题角度：(1)求公差d、项数n或首项a1；(2)求通项或特定项；(3)求前n项和．　(1)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　)A．n(n＋1)　　　　　B．n(n－1)C.D.(2)(2015·江西南昌市模拟测试)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为(　　)A．5B．10C.D.(3)(2013·高考课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n

6、项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)A．3B．4C．5D．6[解析]　(1)由a2，a4，a8成等比数列，得a＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.∴Sn＝2n＋×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1)．(2)由2an＋1＝1＋2an，得an＋1－an＝，∴数列{an}是首项为－2，公差为的等差数列，∴S10＝10×(－2)＋×＝.(3)∵{an}是等差数列，Sm－1＝－2，Sm＝0，∴am＝Sm－Sm－1＝2.∵Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴d＝am＋1－am＝1.又Sm＝＝＝0，∴a1＝－2，∴am＝

7、－2＋(m－1)·1＝2，∴m＝5.[答案]　(1)A　(2)C　(3)C[规律方法]　等差数列基本运算的解题方法(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．　　　1.(1)(2015·福建福州模拟)已知等差数列{an}，其中a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n的