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时间:2019-05-30
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1、第2讲 等差数列及其前n项和1.等差数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数).(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充分条件是A=,其中A叫做a,b的等差中项.2.等差数列的有关公式(1)通项公式:an=a1+(n-1)d.(2)前n项和公式:Sn=na1+d=.3.等差数列的性质已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=
2、am+an.(3)若{an}的公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.(4)若{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.(5)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列.[做一做]1.(2014·高考福建卷)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于( )A.8 B.10C.12D.14答案:C2.已知等差数列a1,a2,a3,…,an的公差为d,则ca1,ca2,ca3,…,can(c为常数且c≠0)是( )A.公差为d的等差数列B.公差为cd的等差数列C.非等差数列D.以上都不对答案:B1.辨明两个易误
3、点(1)要注意概念中的“从第2项起”.如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列.(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别.2.妙设等差数列中的项若奇数个数成等差数列,可设中间三项为a-d,a,a+d;若偶数个数成等差数列,可设中间两项为a-d,a+d,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.3.等差数列的四种判断方法(1)定义法:an+1-an=d(d是常数)⇔{an}是等差数列.(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.(3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数
4、)⇔{an}是等差数列.(4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列.[做一做]3.(2013·高考重庆卷)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=________.解析:由题意得该等差数列的公差d==,所以c-a=2d=.答案:4.若数列{an}满足a1=15,且3an+1=3an-4,则an=________.解析:由3an+1=3an-4,得an+1-an=-,所以{an}是等差数列,首项a1=15,公差d=-,所以an=15-(n-1)=.答案:__等差数列的基本运算(高频考点)________等差数列基本量的计算是高考的常考内容,多出现在
5、选择题、填空题或解答题的第(1)问中,属容易题.高考对等差数列基本量计算的考查常有以下三个命题角度:(1)求公差d、项数n或首项a1;(2)求通项或特定项;(3)求前n项和. (1)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( )A.n(n+1) B.n(n-1)C.D.(2)(2015·江西南昌市模拟测试)在数列{an}中,若a1=-2,且对任意的n∈N*有2an+1=1+2an,则数列{an}前10项的和为( )A.5B.10C.D.(3)(2013·高考课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n
6、项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( )A.3B.4C.5D.6[解析] (1)由a2,a4,a8成等比数列,得a=a2a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),∴a1=2.∴Sn=2n+×2=2n+n2-n=n(n+1).(2)由2an+1=1+2an,得an+1-an=,∴数列{an}是首项为-2,公差为的等差数列,∴S10=10×(-2)+×=.(3)∵{an}是等差数列,Sm-1=-2,Sm=0,∴am=Sm-Sm-1=2.∵Sm+1=3,∴am+1=Sm+1-Sm=3,∴d=am+1-am=1.又Sm===0,∴a1=-2,∴am=
7、-2+(m-1)·1=2,∴m=5.[答案] (1)A (2)C (3)C[规律方法] 等差数列基本运算的解题方法(1)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 1.(1)(2015·福建福州模拟)已知等差数列{an},其中a1=,a2+a5=4,an=33,则n的
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