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《一维正态分布与二维正态分布关系的比较》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第13卷第期信息工程学院学报13N1994年6月rlffrr一1994一维正态分布与二维正态分布关系简析张新建x,,摘要本文主要构造了几类联合密度函数f(v)其边缘分布均为正,,。态分布而联合分布却不是二维正态分布并证明了有关结论,,,,,关键词一维正态分布二维正态分布联合分布边缘分布不相关独立1引言周知,二,维正态分布的边缘分布都是一维正态分布二维正态随机变量的两个分量相,即二互独立的充要条件是它们不相关维正态随机变量的两个分量不相关与相互独立是等。,,,价的然而一个二维随机变量的两个分量都是一维正态随机变量并且它们是不相关的,。它们却未必相互独立联合分布也未必是二维正态分布,
2、常遇到在教学过程中有人对边缘分布是正态分布而联合分布不是正态分布感到难于理,,,。,,解即使知道了结论也感到这种例子太少太特殊川}曾给出了一个联合密度(后面,n=,=二,,命题2中O1的情况)它对应的二维随机变量的两个分量都服从正态分布并且,。,不相关其联合分布却不是正态的本文对这种特例作了深入研究分析了具有这种性质,,。的二维密度f(xy)的结构特点与本质有助于我们更好地了解正态分布的特殊性质2主要结论及例,x,:首先我们构造的几类f(y)具有如下性质x,,,:二,少二,x,(,)f(y〕是二维随机变量(xY)的密度函数“。了二:丁二二只)d办一,且f(y)>O,,(2)(XY
3、)的边缘分布都是正态分布即X和Y都是一维正态随机变量;(3)相关p万;二o,;系数即x与Y不相关,(4)XY不相互独立;本19931113日。文于年月收到一一信息工程学院学报年((X不是二维正态随机变量x,:下面分别构造《y)如下命题1对任意实数l及任意非负整数n,若令一x222沪x=I()“一田4、一区】~~,,,x一。而这只需证g(x)dx一。由:()的定义知,xx一dx办f二二,;()d”只藉证了乞gX,X`’即ZJ()dx一o只需证,(:一)”dx一。;子下面用数学归纳法证明此式成立:,2当n一“时一一x(一,和子xd)哭厂);·0结论成立;n一,,设k时结论成立一kZ+’=。呵扣子x)dxn=k-+l时矛.口,``,`.O一x+3x!(l)k2J一2x)dx了X”`’X一X”`’一``,一,d`,`,一,一义z;子;子于一)dxn二k,。若证+l时结论也成立只要证上式中后面一个积分等于0即可而与十=J=一厂一”`’,一勺户,I孰`’dx(l门户一(l于于`一,k2`
5、’`石矛,l`,一,dx+`,-工+IXX`k2一于手iXd)d)l手x、.,2Zk+IX鉴`,J+l“z从了x一了)dx十J石一“(I一竺lll0(上行等号成立是前行后一积分中令l一x:u)第期张新建一维正态分布与二维正态分布关系简析一一,二,所以结论成立“p丁二:了二:八,)dx办一,x,,,x,。易见《刃>0所以f(y)是二维密度函数设它,Y)的密度函数是(Xxx,②因为fx()一丁二:只,)办,X,士`’。(X:士:()。)、一),二:。)、六·=价(X)l土0=中(x),所以X~N(0l)犷,,,同样可侧伽)=职伽)所以Y一N(ol)。即边缘分布都是正态分布,③证明XY
6、不相关=,=0,=l,=因为EX0EYDXDYl,·C口V(X)Y=石(X)Y一石XEY,一E(xy)一二,)d二办J二:丁二:.vx只一X夕,(尤,,d!士`’,,Xy:x()g`二:J二:。)、一,乞,乞。)dxdy六=0士O=0,px;=COV(XY),,。所以=0即XY不相关寸DXDY,。④证XY不相互独立因为在0,面积不为的区域D上X,,,,<,,,(D一{(),一,<,、}一,、.,})盖釜x,夕笋x,x只)fx(f)妙)一中()中伽),,。所以XY不相互独立,。⑤证明(XY)不是二维正态随机变最,,,若(XY)是二维正态随机变量由(3)知X和Y不相关而二维正态随机变
7、量两个分最不相关与相互独立等价,故由(3)可知,,。,XY相互独立这与(4)矛盾所以(XY)不是二。维正态随机变量n,命题2对任意实数1及任意非负整数若令价(x)=e一co
