.4-3二维正态分布.ppt

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1、第三节二维正态分布数学与信息技术系记为(X,Y)～定义设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为其中是分布参数这种分布叫做二维正态分布。二维正态分布的分布曲面它的形状类似山岗，在点达到最高峰，如下图所示二维正态分布(X,Y)的概率密度函数f(x,y)满足:性质(2)(1)X与Y的边际概率密度函数分别为其中证明:(1):由可得X的边缘概率密度置换积分变量，得到由于对称性，可知因为(2)X服从正态分布,所以所以，由第四章第一、二节的知识可知，Y也服从正态分布，且其期望为,标准差为X服从正态分布，且其期望为,标准差为下面计算二维正态分布的中X与Y的相关系数相关系数公式为

2、所以二维正态分布的中X与Y的相关系数R(X,Y)其中化为累次积分，得到其中置换积分变量，得到代入得到置换积分变量得到求证:X与Y独立r=0例设(X,Y)～把r=0代入，得证明∴X与Y独立“”∵X和Y相互独立∴(x,y)R2.有对比两边∴r=0特别,取代入上式有即:例1设X和Y相互独立，并且都服从标准之态分布，求它们的平方和Z=X2+Y2的概率密度分析：要求Z=X2+Y2的概率密度，必须事先知道二维随机变量(X,Y)的联合概率密度，如何获得？注意到X与Y均服从正态分布且相互独立，从而可以获得二维随机变量(X,Y)的联合概率密度解：因为X与Y均服从标准正态分布且

3、相互独立所以，(X,Y)的联合概率密度这里所以FZ(z)=P(Z≤z)=P(X2+Y2≤z),下面分情况讨论当z≤0时，显然，FZ(z)=0；当z>0时，所以Z的分布函数为由此Z的概率密度为所得的分布称为自由度为2的分布例2设X和Y相互独立，并且都服从标准之态分布，求它们的平方和Z=X2+Y2的数学期望和方差分析：求期望和方差的方法有哪些？求出Z密度函数，直接随机变量期望的定义求期望和方差利用(X,Y)的联合密度，并应用随机变量函数的期望定义求期望和方差利用随机变量和的期望以及方差性质法1求出Z密度函数，直接随机变量期望的定义求期望和方差.在例1中求得了Z的概率密度

4、因此由随机变量的期望定义可得为计算Z的方差，先计算置换积分变量可得可得置换积分变量现由公式D(Z)=E(Z2)-[E(Z)]2可得法2利用(X,Y)的联合密度，并应用随机变量函数的期望定义求定义和方差.由例1知(X,Y)的联合概率密度故由随机变量函数的期望定义由极坐标变换公式可得置换积分变量同理可得由极坐标变换公式可得置换积分变量可得由公式D(Z)=E(Z2)-[E(Z)]2可得法3根据§4.2例的结论利用随机变量和的期望以及方差性质因为X,Y均服从标准正态分布，所以由§4.2例知因为X和Y相互独立，所以X2，Y2也互相独立方差，从而