大学概率论二维正态分布.ppt

《大学概率论二维正态分布.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、二维正态分布§4.3第四章正态分布[定义]设二维随机变量的联合概率密度为则称二维随机变量服从二维正态分布，记作其中是分布参数.§4.3二维正态分布§4.3二维正态分布[定理1]设二维随机变量服从二维正态分布则与的边缘分布都是正态且无论参数为何值，都有证：的边缘概率密度分布，§4.3二维正态分布其中设则由此可得，同理，§4.3二维正态分布由定理1可知：化为二次积分，得§4.3二维正态分布设则得其中[定理2]证：§4.3二维正态分布所以设得[定理3]则与独立的充要条件是证：必要性：若随机变量与相互独立，则充分性：则二维正态分布的联合密度可化为：§4.3二维正态分布所以,随机变量

2、与相互独立.[例1]设随机变量与相互独立，都服从标准正态分布解：因为随机变量与相互独立，且已知所以，§4.3二维正态分布当时，有§4.3二维正态分布所以，的分布函数当时，显然有§4.3二维正态分布1.二维正态分布的边缘分布为正态分布：若则且§4.3二维正态分布小结2.则与相互独立思考题1.设二维随机变量服从二维正态分布，已知求的联合概率密度.解：已知与的相关系数为§4.3二维正态分布第四章正态分布正态随机变量的线性函数的分布§4.4[定理1]设随机变量服从正态分布则的线性函数也服从正态分布：证：的分布函数为若则有§4.4正态随机变量的线性函数的分布所以当时类似地可证.定理1

3、表明：正态随机变量的线性函数仍然是正态随机变量.§4.4正态随机变量的线性函数的分布[推论]设随机变量服从正态分布,则标准化的随机变量在定理1中，设即得结论.[定理2]设随机变量与独立，并且都服从正态分布：则它们的和也服从正态分布，且有证：已知与的概率密度分别是§4.4正态随机变量的线性函数的分布则随机变量的概率密度其中§4.4正态随机变量的线性函数的分布不难计算积分得于是由此可见，服从正态分布§4.4正态随机变量的线性函数的分布定理2表明：独立正态随机变量的和仍是正态随机变量.[定理3]设随机变量相互独立，且都服从正态分布：的线性组合也服从正态分布，且有其中为常数.§4.

4、4正态随机变量的线性函数的分布由定理1及定理2还可得下面更一般的结论.则它们思考题1.设随机变量与独立，且服从均值为标准差为的正态分布，而服从标准正态分布，试求随机解：已知与独立，且所以又因为随机变量§4.4正态随机变量的线性函数的分布由此可知，的概率密度为的概率密度.变量无实根的概率为则解：方程无实根就是即按题意,有即已知§4.4正态随机变量的线性函数的分布2.设随机变量服从正态分布且二次方程从而，因为所以应有由此得所以1.特别：2.随机变量与相互独立，且则小结推广：设相互独立，且则§4.4正态随机变量的线性函数的分布补充例题设是两个相互独立的服从同一正态分布的随机变量，

5、则随机变量的数学期望设由正态随机变量的线性性质知于是的概率密度为解:§4.4正态随机变量的线性函数的分布§4.4正态随机变量的线性函数的分布所以，第四章正态分布中心极限定理§4.5则怎么求和的分布?问题：能否利用极限的方法进行近似处理？在很一般条件下,和的极限分布就是正态分布.在一定条件下,大量独立随机变量的和的极限分布为正态分布的一系列定理统称为中心极限定理.§4.5中心极限定理设为随机变量，[定理1]（莱维定理）设独立随机变量服从相同分布，并且数学期望和方差都存在：§4.5中心极限定理服从标准正态分布。当时，则它们的和的标准化变量即它的分布函数§4.5中心极限定理满足由

6、莱维定理可得如下的近似公式：设独立同分布，则当充分大时，§4.5中心极限定理[推论][例1]解：设随机变量表示第个加数的取整误差，则在区间上服从均匀分布，并且有§4.5中心极限定理计算机进行加法计算时,把每个加数取为最接近于它的整数来计算.设所有的取整误差是相互独立的随机变量,并且都在区间上服从均匀分布,求300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率.于是所求的概率为§4.5中心极限定理[定理2]（棣莫弗-拉普拉斯定理）设在独立试验序列中，事件在各次试验中发生的概率为随机变量表示事件在次试验中发生的次数，则有其中是任何实数，§4.5中心极限定理证：设随机变量表示事件在第次

7、试验中发生的次数则这些随机变量相互独立，服从相同的分布，并且有数学期望及方差：显然，事件在次试验中发生的次数所以，按列维定理可知，等式成立.§4.5中心极限定理由定理可以推知：设在独立试验序列中，事件在各次试验中发生的概率为则当充分大时，事件在次试验中发生的次数在与之间的概率为其中§4.5中心极限定理§4.5中心极限定理说明：服从二项分布的随机(1)当充分大时，近似地服从正态分布变量在第二章中，泊松分布是二项分布的极限分布，且有近似计算公式(2)现在由定理2知，正态分布是二项分布的极限分布，且有相应的近似计算公式.