概率论 第十五讲 正态分布.ppt

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1、教学目的：1.一维正态分布.2二维正态分布教学内容：第三章，§4.1～4.3。第十五讲正态分布一、一维正态分布若X的d.f.为则称X服从参数为,2的正态分布记作X~N(,2)为常数，正态分布亦称高斯(Gauss)分布N(-3,1.2)f(x)的性质：图形关于直线x=对称,即在x=时,f(x)取得最大值在x=±时,曲线y=f(x)在对应的点处有拐点曲线y=f(x)以x轴为渐近线曲线y=f(x)的图形呈单峰状f(+x)=f(-x)性质f(x)的两个参数：—位置参数即固定,对于不同的,对应的f(x)的形状不

2、变化，只是位置不同—形状参数固定，对于不同的，f(x)的形状不同.若1<2则比x=2所对应的拐点更靠近直线x=附近值的概率更大.x=1所对应的拐点前者取Show[fn1,fn3]大小几何意义大小与曲线陡峭程度成反比数据意义大小与数据分散程度成正比正态变量的条件若r.v.X①受众多相互独立的随机因素影响②每一因素的影响都是微小的③且这些正、负影响可以叠加则称X为正态r.v.可用正态变量描述的实例极多：各种测量的误差；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线抗拉强度；

3、热噪声电流强度；学生的考试成绩；一种重要的正态分布是偶函数，分布函数记为标准正态其值有专门的表供查.——标准正态分布N(0,1)密度函数-xx对一般的正态分布：X~N(,2)其分布函数作变量代换例1设X~N(1,4),求P(0X1.6)解P289附表2例5例2已知且P(2

4、原理知，当3原理标准正态分布的上分位数z设X~N(0,1),0<<1,称满足的点z为X的上分位数z常用数据例5设测量的误差X~N(7.5,100)(单位:米)问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9?解例7设A表示进行n次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米n>3故至少要进行4次独立测量才能满足要求.二、一维正态分布的数字特征X~N(,2),求E(X)D(X)例如设X~N(,2),Y=aX+b,则Y~N(a+b,a22)特别地，若X~N(,2),则

5、二、一维正态随机变量函数的分布一维正态r.v.的线性函数还服从正态分布例6已知X服从正态分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1–2X,求Y的密度函数.解例7若X服从正态分布，,它的密度函数完全由期望和方差决定.例7已知X~N(0,1),Y=X2,求fY(y)解一从分布函数出发[yy[当y<0时，FY(y)=0当y>0时，][例5故例8设X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互独立，求E(max(X,Y)).解D1D2例5其中称为概率积分一般地，若X,Y相互独立，则所以设由自动线加工的某种零件的内径X(mm)~N(

6、,1).已知销售每个零件的利润T(元)与销售零件的内径X有如下的关系：问平均直径为何值时,销售一个零件的平均利润最大？应用应用4解即可以验证，零件的平均利润最大.故时,销售一个若r.v.(X,Y)的联合为则称(X,Y)服从参数为1,12,2,22,的正态分布,记作(X,Y)~N(1,12;2,22;)其中1,2>0,-1<<1.二维正态分布二维正态分布Clear[f,x,y]f[x_,y_]:=Exp[-(x^2+y^2)/2]/(2Pi)Plot3D[f[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3

7、},ViewPoint->{-2.869,1.790,0.110},AspectRatio->0.6,PlotPoints->30];二维正态分布图二维正态分布剖面图例9设(X,Y)~N(1,12;2,22;),求XY解例2正态分布的边缘分布仍为正态分布证对任何x,y有取相互独立命题故将代入即得相互独立命题X,Y不相关例10设(X,Y)~N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,求XZ解例4例11设(X,Y)~N(0,1;0,1;0),求的数学期望.解例3例12已知X,Y相互独立,且都服从N(0,0.5),求E(

8、

9、X–Y

10、).解故令B为正定矩阵再令则二维正态联合d.f.为推广正态随机变量的结论若X,Y相互独立,则若(X,Y)则若相互独立则推广作业P137习题四1（2）（3）4（1）（3）；4，5，9，11