概率论：正态分布.pdf

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1、第四章第一节正态分布的密度函数第二节正态分布的数字特征正态分布第三节正态分布的线性性质第四节二维正态分布第五节中心极限定理PLAY第一节正态分布的密度函数正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一,它在概率统计中占有特别重要的地位.比如,考察一群人的身高,个体的身高作为一个随机变量,其取值特点是:在平均身高附近的人较多,特别高和特别矮的人较少.一个班的一次考试成绩、测量误差等均有类似的特征.高斯在研究误差理论时曾用它来刻画误差,因此很多文献中亦称之为高斯分布.进一步的理论研究表明,一个变量如果受到大量独立的因素的影响(无主导因素),则它一

2、般服从正态分布,这是中心极限定理探讨的问题.一.一般正态分布f(x)1.定义若随机变量X的密度函数为2(x)12f(x)e22其中x0x式中为实数,>0.则称X服从参数为,2的正态分布,亦称高斯分布.记为N(,2).可表为X～N(,2).图象见右上角1正态分布有两个特性：2f(x)(1)单峰对称密度曲线关于直线x=对称1f()＝maxf(x)＝20x(2)的大小直接影响概率的分布N)5/3,4(f(x)越大,曲线越平坦;N)1,4(越小，曲线越陡峻.N)5/7,4(正态分布也称为高斯(Ga

3、uss)分布20246x二.标准正态分布参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0,1)。(x)其密度函数为2x1(x)e22(x)42024x分布函数为(x)P{Xx}2t(1)(0)=0.51xe2dt,x(2)(+∞)＝1；2f(x)(3)(x)＝1－(－x).2x1f(x)e2一般的概率统计教科书均附有2标准正态分布表供读者查阅(x)的值.(P328附表1)如,若X~N（0,1),(0.5)=0.6915,0xP{1.32

4、43)-(1.32)=0.9925－0.9066正态分布的数字特征(一)一般正态分布N(,2)2(x)12X~f(x)e2,x22(x)x22E(X)xf(x)dxedx22txt2tedt222D(X)(x)f(x)dx(二)标准正态分布N(0,1)2x1X~f(x)e2,x22xxE(X)xf(x)dxe2dx(0奇函数)222D(X)E{[XE(X)]}[xE(X)]f(x)dx

5、2x1x2e2dx12三.一般正态分布概率的计算f(x)若X～N(,2),>0,则有F(x)P{Xx}(t)21x22edt20xXxF(x)P{Xx}P{}(x)2txx1P{Z}(/)e2dtx2x().一般地,有0P{aXb}P{aXb}aXbabP{}P{Z}baP{Z}P{Z}Z~N)1,0(ba()()2例1设随机变量X~N2

6、,1(,)求P{6.1X}4.2解P{6.1X}4.2P{6.11X14.2}1P{6.2X1}4.1P{2/6.2(X2/)1}2/4.1P{3.1(X2/)1}7.0)7.0(()3.1)7.0(1[3.1()].075801[.09032].06612.例2.设XN(,2),求P{-3

7、X)/}3)3(()3)3(1[3()]2)3(1.09973本题结果称为3原则.在工程应用中,通常认为P{

8、X

9、≤3}≈1，忽略{

10、X

11、>3}的值.如在质量控制中,常用标准指标值±3作两条线,当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报,表明生产出现异常.2例3设随机变量X~N,2(,)且P2{X}4,3.0求P{X.}0随机变量解P2{X}4P0{(X/)2/2}标准化/2())0(,3.0/2()3.0)0(8.0P{X}0P{(X/)2/2

12、}(/2)1/2()18.02.0例4设随机变量X~N,)4,3(且常数