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1、第14卷第4、5期计算物理Vol.14,No.4-51997年9月CHINESEJOURNALOFCOMPUTATIONALPHYSICSSep.,1997正态分布的抽样方法宫野(大连理工大学物理系,116024)摘要给出了若干实现正态分布的随机抽样方法,并对各种抽样方法作了比较,可供在实际问题中选用。关键词正态分布抽样方法效率中图分类号O211.3O212.20引言正态分布在物理学、统计学、计算物理,特别在MonteCarlo方法计算中是最常见、最
2、重要的分布之一。它2抽样方法的好坏,会影响别的分布,例如分布、T分布等的抽样效率。为此,本文概述若干实现正态分布的随机抽样方法,并对各种抽样方法作了比较,以供在实际问题中选用。2因为若随机变量Y满足正态分布N(a,),则X=(Y-a)/满足标准正态分布N(0,1)。因此,下面只需讨论标准正态分布的抽样方法。1舍选抽样方法由正态分布的3准则,知只要取x的范围为一有限区间:x[-a,a],a的取值不小于3就能近似反映正态分布的全貌。下面给出舍选抽样法的框图。S=-a+2a12(-)
3、2exp(-S/2)?(+)Xf=S这里的1,2以及后面的,i等皆是[0,1]区间上均匀分布的随类机正数态。分布的加抽样方法示意图这种直接的舍选抽样法效率=2/(2)是很低的。若取a=3,则=04178;若取a=5,则=02507。这种低效率是因为在X的取值范围内有很大一部分的抽样被舍去。为解决这一问题,不妨把*(0~5)划分成如示意图的几段,分点分别为05,1,15,2,3和5,并以这些点的f(x)值作矩形阶梯。显然,若只在这个阶梯形内舍选抽样,要比在整个大矩形内
4、投点抽样效率要高得多,这就是下面的加抽样方法。2加抽样方法*2**首先把类正态分布f(x)=exp(-x/2)写成f(x)=pnfn(x)的形式。n*(1)计算各矩形的高,即各分点上f(x)的值(表1)。(2)由正态分布表,查知收稿日期:1996-12-16;修回日期:1997-05-09第4、5期宫野:正态分布的抽样方法567表1类正态分布加抽样法分点值x005115235f*(x)108825060650324701353001110xn2设Fn=(1/2)exp(
5、-x/2)dx,并令F0=0,则pn=Fn-Fn-1表示x的取值落在区间(xn-1,-12***xn)内的概率。于是可将分布f(x)写成加分布的形式:f(x)=pnfn(x)。这样一来,便可用加抽样方n=1法来实现类正态分布的随机抽样,其抽样效率=08012,远比在矩形内的舍选抽样效率=02507高得多。其抽样框图如右下3变换抽样方法及复合抽样法取两个独立的(0,1)区间上均匀分布的随机数1和2,作变换X1=产生随机数1/21/2(-2ln1)cos(22),X2=(-
6、2ln1)sin(22),则X1和X2是两个独1/2立的都服从N(0,1)分布的随机数。X1=(-2ln1)cos(22),也可由Fn-1<Fn复合分布抽样方法得知。这种抽样方法要计算对数、开方、余弦(或正弦),但它不存在舍选抽样法那样的效率问题,因此所费机时并不一定多。试验表明,该方法比直接实现fn(x)的抽样Xfn的舍选抽样法要节省机时,而与上述的加抽样方法所费机时大体相当。正态分布的变换抽样法还可以作些改进,这就是由马萨格利亚和布雷(MarsagliaandBrag)提出的
7、用极法产生正态分布随机数。Xf=Xfn4极法(PolarMethod)[1]极法产生正态分布随机数的抽样过程由下面四步构成:(1)产生(0,1)上均匀分布的随机数1和2;并将它们变换到(-1,1)区间上,即u=21-1,v=22-1。22(2)计算W=u+v。(3)如果W1,则转到步骤(1);否则(1/2)(4)计算Z=[-2ln(W)/W],取x1=uz,x2=vz,为一对独立的标准正态分布的随机数。这种方法简单易实现。虽然多一些算术运算,并在第(3)步时有大约21%的计算耗时
8、被舍弃,但不需要再计算三角函数(正弦和余弦),因而产生随机数的速度要快些,它较变换法约快10~30%。Xf1=ln15乘抽样方法(-)(Xf+1)2-2ln2?将正态分布密度函数写成乘分布形式:f(x)=H(x)f11(x),其(+)2中f1(x)=exp(-
9、x
10、)/2,H(x)=2/exp(-x/2+
11、x
12、)。于是有如右图乘分布的舍选抽样方法。Xf=sign(3-05)Xf1抽样效率=/2e0760。可见,乘抽样方法比变换抽样法更进了一步,它只需计算两个对数值。6近似
