抽样方法、正态分布

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时间:2018-07-28

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1、抽样方法、正态分布    重点、难点讲解:  1.抽样的三种方法:  简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。后两种方法是建立在第一种方法基础上的。  2.了解如何用样本估计总体:  用样本估计总体的主要方法是用样本的频率分布来估计总体分布,主要有总体中的个体取不同数值很少和较多甚至无限两种情况。  3.正态曲线及其性质  正态分布常记作N(),其正态分布函数:f(x)=,x∈(-∞,+∞)。  把N(0,1)称为标准正态分布,相应的函数表达式:f(x)=,x∈(-∞,+∞)。  正态图象的性质:  ①曲线在x轴的上方,与x轴不相交。  ②曲线关于直线x=μ对称。  ③曲线在x=μ

2、时位于最高点。  ④当x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降,并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近。  ⑤当μ一定时,曲线的形状由确定,越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中。  4.一般正态分布与标准正态分布的转化  对于标准正态分布,用表示总体取值小于x0的概率,即=p(x

3、5.了解“小概率事件”和假设检验的思想。  知识应用举例:  例1.为了了解某大学一年级新生英语学习的情况,从503名大学一年级学生中抽取50名作为样本,如何采用系统抽样方法完成这一抽样?  思路分析:因为总体的个数503,样本的容量50,不能整除,故可采用随机抽样的方法从总体中剔除3个个体,使剩下的个体数500能被样本容量50整除,再用系统抽样方法。  解:第一步:将503名学生随机编号1,2,3,……,503  第二步:用抽签法或随机数表法,剔除3个个体,剩下500名学生,然后对这500名学生重新编号。  第三步:确定分段间隔k==10,将总体分成50个部分,每部分包括1

4、0个个体,第一部分的个体编号为1,2,……,10;第二部分的个体编号11,12,……,20;依此类推,第50部分的个体编号491,492,……,500。  第四步:在第一部分用简单随机抽样确定起始的个体编号,例如是7。  第五步:依次在第二部分,第三部分,……,第五十部分,取出号码为17,27,……,497,这样就得到了一个容量为50的样本。  例2.对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下:    (1)列出频率分布表;  (2)画出频率分布直方图;  (3)估计电子元件寿命在100h~400h以内的概率;  (4)估计电子元件寿命在400h以上的概率;  (5)估计总体的数

5、学期望。  思路分析:由于样本的取得具有代表性,因此,可以利用样本的期望近似地估计总体的期望。  解:(1)样本频率分布表如下:        (2)频率分布直方图如下:       (3)从频率分布表可知,寿命在100h~400h的元件出现的概率为0.65;  (4)由频率分布表可知,寿命在400h以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35,故我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35。  (5)样本的期望为:    所以,我们估计生产的电子元件寿命的总体期望值(总体均值)为365h。  例3.正态总体为μ=0,σ=1时的概率密度函数是f(x)=, x∈

6、(-∞,+∞),  (1)证明f(x)是偶函数;(2)利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。  证明:(1)任意的x∈R,f(-x)=,  ∴f(x)是偶函数。  (2)任取x1

7、ξ

8、<1.52)  思路分析:标准正态分布,可以借助标准正态分布表。用到的公式主要有:(-x)=1-(x);P(a

9、a);p(x≥x0)=1-p(x

10、ξ

11、<1.52)=p(-1.52<ξ<1.52)=(1.52)-(-1.52)    =2(1.52)-1=2×0.9357-1=0.8714。  例5.设,且总体密度曲线的函数表达式为:f(x),x∈(-∞,+∞)。  (1)求μ,σ;(

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