抽样方法、正态分布

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1、抽样方法、正态分布　　　　重点、难点讲解：　　1．抽样的三种方法：　　简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。后两种方法是建立在第一种方法基础上的。　　2．了解如何用样本估计总体:　　用样本估计总体的主要方法是用样本的频率分布来估计总体分布，主要有总体中的个体取不同数值很少和较多甚至无限两种情况。　　3．正态曲线及其性质　　正态分布常记作N()，其正态分布函数：f(x)=,x∈(-∞,+∞)。　　把N(0,1)称为标准正态分布，相应的函数表达式：f(x)=,x∈(-∞,+∞)。　　正态图象的性质：　　①曲线在x轴的上方，与x轴不相交。　　②曲线关于直线x=μ对称。　　③曲线在x=μ

2、时位于最高点。　　④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。　　⑤当μ一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。　　4．一般正态分布与标准正态分布的转化　　对于标准正态分布，用表示总体取值小于x0的概率，即=p(x

3、5．了解“小概率事件”和假设检验的思想。　　知识应用举例：　　例1．为了了解某大学一年级新生英语学习的情况，从503名大学一年级学生中抽取50名作为样本，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？　　思路分析：因为总体的个数503，样本的容量50，不能整除，故可采用随机抽样的方法从总体中剔除3个个体，使剩下的个体数500能被样本容量50整除，再用系统抽样方法。　　解：第一步：将503名学生随机编号1，2，3，……，503　　第二步：用抽签法或随机数表法，剔除3个个体，剩下500名学生，然后对这500名学生重新编号。　　第三步：确定分段间隔k==10,将总体分成50个部分，每部分包括1

4、0个个体，第一部分的个体编号为1，2，……，10；第二部分的个体编号11，12，……，20；依此类推，第50部分的个体编号491，492，……，500。　　第四步：在第一部分用简单随机抽样确定起始的个体编号，例如是7。　　第五步：依次在第二部分，第三部分，……，第五十部分，取出号码为17，27，……，497，这样就得到了一个容量为50的样本。　　例2．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：　　　　（1）列出频率分布表；　　（2）画出频率分布直方图；　　（3）估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率；　　（4）估计电子元件寿命在400h以上的概率；　　（5）估计总体的数

5、学期望。　　思路分析：由于样本的取得具有代表性，因此，可以利用样本的期望近似地估计总体的期望。　　解：（1）样本频率分布表如下：　　　　　　　　（2）频率分布直方图如下：　　　　　　　（3）从频率分布表可知，寿命在100h～400h的元件出现的概率为0.65；　　（4）由频率分布表可知，寿命在400h以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35。　　（5）样本的期望为：　　　　所以，我们估计生产的电子元件寿命的总体期望值（总体均值）为365h。　　例3．正态总体为μ=0,σ=1时的概率密度函数是f(x)=,　x∈

6、(-∞,+∞),　　（1）证明f(x)是偶函数；（2）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。　　证明：（1）任意的x∈R，f(-x)=,　　∴f(x)是偶函数。　　（2）任取x1

7、ξ

8、<1.52)　　思路分析：标准正态分布，可以借助标准正态分布表。用到的公式主要有：(-x)=1-(x)；P(a

9、a)；p(x≥x0)=1-p(x

10、ξ

11、<1.52)=p(-1.52<ξ<1.52)=(1.52)-(-1.52)　　　　=2(1.52)-1=2×0.9357-1=0.8714。　　例5．设,且总体密度曲线的函数表达式为：f(x),x∈(-∞,+∞)。　　（1）求μ，σ；（