二维正态分布的假设检验

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1、第29卷第1期大学数学Vo1．29，№．12013年2月COLLEGEMATHEMATICSFeb．2O13二维正态分布的假设检验朱湘赣(昆明理工大学理学院，昆明650093)[摘要]将二维随机向量分解成互不相关的主成分，通过对两主成分的正态独立性检验达到二维随机向量正态性检验的目的．[关键词]正态分布；主成分；假设检验[中图分类号]0212．1[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2013)01—0082—041检验方法对于二维随机向量(X，X。)，要对如下假设“H。：(X，X。)服从二维正态分布；H：不服

2、从”进行检验，若根据Pearson—Fisher检验思想直接对二维空间分区按拟合优度检验法进行检验，则会导致大量复杂的计算(因为无论如何分区，涉及每个区域的理论分布的概率运算都只能用近似计算方法)．能否将此检验问题简化呢，若以下命题：“二维随机向量(x，X。)服从二维正态分布的充要条件是其两主成分(设为Z，Z2)各自服从正态分布且相互独立”成立，则可利用此结论将二维随机向量转化为两个互不相关的主成分，然后通过检验两主成分是否各自服从正态分布且相互独立来间接检验原二维随机向量是否服从二维正态分布．上述命题是成立的，并将其

3、作为定理在第2节进行证明．总之，我们可以将二维随机向量的正态性检验转化为两个一维随机变量的正态独立性检验，具体分如下两步进行：(i)分别检验假设：“H主成分服从正态分布；H不服从”(一1，2)，这可以利用Matlab软件中的相关命令进行．若有一者不服从正态分布，则可断定(x，X)不服从二维正态分布；若两者都通过正态性检验，则进人(ii)；(ii)检验假设H。：Z，Z相互独立；H。：Z，Z不独立．此假设可通过二维列联表进行检验，检验的步骤是先将Z，Z的取值范围分别分成r和s个互不相交的子区间，这样可得个互不相交的小矩形．

4、算出样本落入每个小矩形的频数(i一1，⋯，r；．『一1，⋯，s)．令一∑，一∑衄，一∑一∑，=11i=11则检验统计量一二：翌：翌!：“／n在H。为真时的极限分布为((r一1)(s一1))，然后利用检验法进行检验．若独立性也获得通过，即可认为(X，X。)服从二维正态分布．[收稿日期]2010—11—06第1期朱湘赣：二维正态分布的假设检验832定理证明此定理的证明利用了下述两个引理及主成分概念(所谓主成分就是由原来一组变量重新组合成的一组按方差贡献大小排列的两两不相关或者说协方差为零的综合变量，实际上就是原变量的一种特

5、定的正交变换)．引理1['。若X=f(Z，Z。)，X。一f(Z，Z。)，Z一(z，Z)的密度函数为f，z(1，2)>0，(1，2)∈D，lfz(1，z2)一0，(1，z2)D，：f1(zl，z2)，z2一f2(zl，22)，(21，2)∈D有唯一逆变换：zl—g1(，z2)，zz：g2(l，2)，(zl，。)∈D，该逆变换与原变换都单值连续，且一阶偏导数连续，令J一，则x一(X，X2)的密度函数fz(gl(x,,x2),g2‘1'z2。’Xl~X2c。，一z，z；。Dt"'引理2已知Z：(Z，Z)，X(X。，X2)，x

6、—AZ，A为可逆矩阵，若Z～N(0，易)，则X～N(0，)．证Z的密度函数为，z(z)1丌l[1／Zexp{一1z-T~-zlz)J，其中z一(2，z)．令B===A_。，由X=AZ可得z一．利用引理1及-厂=IBf可得X的密度函数为^()一『I~／Zexp{一1(Bx)T~,-iB}·abs(IBI)(这里abs表示绝对值)一1I[~／2exp{一号(B~rz)}(IBl一1IBT2：~B[~／2exp{一1T(B}，因此X～N(O，(BB))，即X～N(O，zA)定理x一(x，X。)(假定Cov(X)一>O)服从二

7、维正态分布的充要条件是其主成分Z，Z。独立且各自服从正态分布．证显然，主成分Z，Z。的均值为零当且仅当X，X的均值为零．不失一般性，下面的证明假设X，，X的均值为零．必要性．假设(X。，X。)～N(0，)，的两个特征值分别为，(>)，其所对应的单位特征向量分为(Cll,C21)T,(c12,，，令c一(＼C21C22]，则c为正交阵，]tC一uA2)／．X,,X2的主成分为Z—CliX+C2iX(=1，2)，或写作Z—cTx．根据x～N(0，)及引理2知，Z一(Z。，Z)～N(O，C)，从而Z，，Z。服从均值为零方差分

8、别为，。的正态分布．又根据cov(Z，Z)一0及正态分布中独立与不相关的等价性可得到z，Z。相互独立这一结论．充分性．设z=CTX(c系正交阵，C=C-)为主成分向量，z。，Z相互独立且分别服从均值为零方差分别为；，；的正态分布，其密度函数为fzi(一1ex一荔)(1’2)，则Z一(Z，Z)T的密度函数为84大学数学第29卷，一g