湖南省长沙市长郡中学2018届高三第三次月考数学（理科）（附答案）

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1、长郡中学2018届高三月考试卷（三）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合的真子集的个数是（）A．3B．4C．7D．82．已知变量成负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．B．C．D．3．已知命题，，命题，，则下列命题为真命题的个数是（）①；②；③；④.A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14B．15C．16D．17

2、6．已知为奇函数，函数与的图象关于直线对称，若，则（）A．-2B．2C．-1D．47．已知实数满足，且，则的最大值（）A．2B．4C．5D．68．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．若函数，又，，且的最小值为，则正数的值是（）A．B．C．D．10．如图，正三棱柱的各条棱长均相等，为的中点，分别是线段和线段上的动点（含端点），且满足.当运动时，下列结论中不正确的是（）A．平面平面B．三棱锥的体积为定值C．可能为直角三角形D．平面与平面所成的锐二面角范围为11．已知函数（），若数列满足，数列的前项的和为，则（）A．909B．910C．911

3、D．91212．已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数的值为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知展开式的常数项为15，则．14．已知向量满足：，且，若，其中，且，则的最小值是．15．将正整数12分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如.数列的前100项和为．16．如图，正方体的棱长为3，在面对角线上取点，在面对角线上取点，使得平面，当线段长度取到最小值时，三棱锥的体积为．三、解答题

4、（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示.（1）求的值；（2）该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？（3）在（2）的前提下，已知面试有4位考官，被抽到的6名学生中有两名被指定甲考官面试，其余4名则随机分配给3位考官中的一位对其进行面试，求这4名学生分配到的考官个数的分布列和期望.18．在中，内角所对的边分别为，已知，.（1）当时，求的面积；（2）求周长的最大值.19．如图所示，直三棱柱中，，

5、为的中点，为的中点.（1）求证：面；（2）若面，求二面角的余弦值.20．已知数列满足，.（1）是否能找到一个定义在的函数（是常数）使得数列是公比为3的等比数列，若存在，求出的通项公式；若不存在，说明理由；（2）记，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.21．已知.（1）当时，求证：；（2）当时，试讨论方程的解的个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线（为参数），圆（为参数），（1）当时，求与的交点坐标；（2）过坐标原点作的垂线，垂足为，为的中点，当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线

6、.23．选修4-5：不等式选讲（1）已知函数.若函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围.（2）已知，，求证：.长郡中学2018届高三月考试卷（三）数学（理科）参考答案一、选择题1-5:CCBAC6-10:ACBDC11、12：AB二、填空题13．14．15．16．1三、解答题17．解：（1）由题意知，，，.（2）三个组共60人，所以第三组应抽人，第四组应抽人，第五组应抽人.（3）的所有可以取的值分别为1,2,3；（或）；（或）.所以的分布列为：所以的数学期望.18．解：（1）由得得，当时，，，，，当时，，由正弦定理，联立.解得，，故三角形的面积为.（2）由余弦定理及已知条

7、件可得：.由得，故周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形取到.19．解：（1）设与交于，连接，∵，则与平行且相等.∴四边形为平行四边形.∴，又面，面，∴面.（2）以的中点为原点，分别以方向为轴和轴正方向，以方向为轴正方向，建系如图，设，，则有，，，，∴，∴，∴由面，则.则解得.所以面的法向量为，又设面的法向量为，，，，，所以，令，则，∴.所以二面角的余弦值为.20．解：（1）∵，∴，所以只需，∵，∴，，，∴，，.即∴，∴.（2）∴，由，得.设，则，当时，∴时，.容易验证，当时，，∴，∴的取值范围为.21．解：（1）要证，只