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时间:2019-11-30
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2015-2016学年山东省烟台市高三(上)期中数学试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共10小题;每小题5分,共50分.每小题给出四个选项,只有一个选项符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上.1.已知集合A={x|x>﹣1},A∪B=A,则集合B可以是( )A.{0,2}B.{﹣1,0,1}C.{x|x≤0}D.R【考点】并集及其运算.【专题】集合.【分析】根据集合A,以及A与B的并集为A,即可确定出集合B的可能结果.【解答】解:集合A={x|x>﹣1},A∪B=A,则集合B可以是{0,2}.故选:A.【点评】此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键. 2.已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为,则=( )A.B.C.D.1【考点】运用诱导公式化简求值;任意角的三角函数的定义.【专题】三角函数的求值.【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义,求得cosα的值,再利用诱导公式、二倍角的余弦公式求得的值.【解答】解:由题意可得,cosα=,则=cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣,故选:A.【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,诱导公式、二倍角的余弦公式的应用,属于基础题. 3.设x>0,且1<bx<ax,则( ) A.0<b<a<1B.0<a<b<1C.1<b<aD.1<a<b【考点】指数函数单调性的应用.【专题】探究型.【分析】利用指数函数的性质,结合x>0,即可得到结论.【解答】解:∵1<bx,∴b0<bx,∵x>0,∴b>1∵bx<ax,∴∵x>0,∴∴a>b∴1<b<a故选C.【点评】本题考查指数函数的性质,解题的关键是熟练运用指数函数的性质,属于基础题. 4.给定函数①,②,③y=|x﹣1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A.①②B.②③C.③④D.①④【考点】函数单调性的判断与证明.【专题】函数的性质及应用.【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型,对数函数型,指数函数型,含绝对值函数型,在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质;①为增函数,②为定义域上的减函数,③y=|x﹣1|有两个单调区间,一增区间一个减区间,④y=2x+1为增函数.【解答】解:①是幂函数,其在(0,+∞)上即第一象限内为增函数,故此项不符合要求;②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的,因为原函数在(0,+∞)内为减函数,故此项符合要求;③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方,下方图象翻折到x轴上方而得到的,故由其图象可知该项符合要求; ④中的函数图象为指数函数,因其底数大于1,故其在R上单调递增,不合题意.故选B.【点评】本题考查了函数的单调性,要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件. 5.若a>0,b>0,且a+2b﹣2=0,则ab的最大值为( )A.B.1C.2D.4【考点】基本不等式.【专题】计算题.【分析】由于a>0,b>0,a+2b=2,故可利用基本不等式求ab的最大值.【解答】解::∵a>0,b>0,a+2b=2∴∴ab当且仅当a=2b=1即a=1,b=时取等号∴ab的最大值为故选A【点评】本题以等式为载体,考查基本不等式,关键是注意基本不等式的使用条件:一正,二定,三相等. 6.若x,y满足,则下列不等式恒成立的是( )A.y≥﹣1B.x≥2C.x+2y+2≥0D.2x﹣y+1≥0【考点】简单线性规划.【专题】不等式的解法及应用.【分析】由约束条件作出可行域,作出四个选项中不等式所对应的直线,由图可得答案.【解答】解:由约束条件作出可行域如图, 由图可知,对可行域内的点不等式恒成立的是2x﹣y+1=0.故选:D.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 7.已知函数f(x)=x+,则函数y=f(x)的大致图象为( )A.B.C.D.【考点】函数的图象.【专题】函数的性质及应用.【分析】①当x>0时,f(x)=,由基本不等式知:≥,且当x=1时取等号,即x=1时,函数有最小值2,排除BC,②当x<0时,考虑函数f(x)=x﹣的单调性,可选出答案.【解答】解:①当x>0时,f(x)=,由基本不等式知:≥,且当x=1时取等号, 即x=1时,函数有最小值2,排除BC,②当x<0时,f(x)=x﹣,因为x、都是增函数,故函数f(x)=x﹣为增函数,只有D符合,故选:D.【点评】本题主要考查函数的图象与函数的性质,分类讨论函数的性质时解题的关键. 8.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为( )A.1B.2C.D.【考点】平面向量的基本定理及其意义.【专题】计算题;平面向量及应用.【分析】作出图形,根据向量的线性运算规则,得,再由分解的唯一性得出λ1与λ2的值即可.【解答】解:由题意,如图,因为AD=AB,BE=BC,∴,又(λ1,λ2为实数),∴,∴λ1+λ2=.故选C. 【点评】本题考查向量基本定理,分解的唯一性是此类求参数题建立方程依据,注意体会这一规律. 9.函数y=cos(+φ)(0≤φ<2π)在区间(﹣π,π)上单调递增,则φ的最大值是( )A.B.C.D.【考点】余弦函数的图象.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】由题意可得(﹣π)+φ≥π+2kπ,且•π+φ≤2π+2kπ,k∈z.再结合0≤φ<2π,可得φ的最大值.【解答】解:∵函数y=cos(+φ)(0≤φ<2π)在区间(﹣π,π)上单调递增,∴(﹣π)+φ≥π+2kπ,且•π+φ≤2π+2kπ,k∈z,解得2kπ+≤φ≤+2kπ.再结合0≤φ<2π,可得φ的最大值是,故选:C.【点评】本题主要考查余弦函数的单调区间,属于基础题. 10.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数,而函数y=在区间I上是减函数,那么称函数y=f(x)是区间I上“缓增函数”,区间I叫做“缓增区间”,若函数f(x)=是区间I上“缓增函数”,则“缓增区间”I为( )A.[1,+∞)B.C.[0,1]D.【考点】函数单调性的判断与证明.【专题】计算题;函数的性质及应用.【分析】由题意,求f(x)=的增区间,再求y==x﹣1+的减函数,从而求缓增区间.【解答】解:f(x)=在区间[1,+∞)上是增函数,y==x﹣1+,y′=﹣•=; 故y==x﹣1+在[﹣,]上是减函数,故“缓增区间”I为[1,];故选D.【点评】本题考查了函数的性质应用,属于基础题. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置.11.若logxy=﹣2,则x2+y的值域为 (2,+∞) .【考点】基本不等式在最值问题中的应用.【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用.【分析】利用指数与对数的互化,化简所求表达式,利用基本不等式求解最值即可.【解答】解:logxy=﹣2,可得y=x﹣2,x>0且x≠1,x2+y=x2+x﹣2=x2+>2=2.所以x2+y的值域为:(2,+∞);故答案为:(2,+∞).【点评】本题考查函数的值域,基本不等式的应用,对数与指数的互化,考查计算能力. 12.在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c、,已知a2﹣c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC则b= 4 .【考点】余弦定理;正弦定理.【专题】计算题;解三角形.【分析】利用余弦定理、正弦定理化简sinAcosC=3cosAsinC,结合a2﹣c2=2b,即可求b的值.【解答】解:∵sinAcosC=3cosAsinC,∴∴2c2=2a2﹣b2∵a2﹣c2=2b,∴b2=4b ∵b≠0∴b=4故答案为:4【点评】本题考查余弦定理、正弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题. 13.已知函数f(x)=则f(f(﹣1))= 1 .【考点】函数的值.【专题】函数的性质及应用.【分析】直接利用分段函数求解函数值即可.【解答】解:函数f(x)=则f(﹣1)=,f(f(﹣1))=f()==1.故答案为:1.【点评】本题考查分段函数的应用,考查计算能力. 14.如图所示,点P是函数y=2sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0)图象的最高点,M、N是图象与x轴的交点,若=0,则ω= .【考点】正弦函数的图象.【专题】计算题;数形结合.【分析】由题意,结合图象,推出OP=2,MN=4,求出函数的周期,利用周期公式求出ω.【解答】解:,点P是函数y=2sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0)图象的最高点,M、N是图象与x轴的交点,若=0,所以OP=2,MO=OM=2,所以T=8, 因为T=,所以ω=故答案为:【点评】本题是基础题,考查正弦函数的图象,函数的周期,向量的数量积与向量的垂直关系,考查逻辑推理能力,计算能力,好题. 15.若关于x的函数f(x)=(t>0)的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,则实数t的值为 2 .【考点】函数的最值及其几何意义.【专题】函数的性质及应用.【分析】由题意f(x)=t+g(x),其中g(x)=是奇函数,从而2t=4,即可求出实数t的值.【解答】解:由题意,f(x)==t+,显然函数g(x)=是奇函数,∵函数f(x)最大值为M,最小值为N,且M+N=4,∴M﹣t=﹣(N﹣t),即2t=M+N=4,∴t=2,故答案为:2.【点评】本题考查函数的最大值、最小值,考查函数是奇偶性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.16.已知向量=(cosθ,sinθ),=(2,﹣1).(1)若⊥,求的值;(2)若|﹣|=2,,求的值.【考点】平面向量数量积的运算;同角三角函数基本关系的运用.【专题】平面向量及应用. 【分析】(1)由⊥,可得=2cosθ﹣sinθ=0,求得tanθ=2,从而求得=的值.(2)把已知等式平方求得=1,即2cosθ﹣sinθ=1,平方可得4cos2θ﹣4sinθcosθ+sin2θ=1,求得tanθ=.再利用同角三角函数的基本关系求得cosθ和sinθ的值,从而求得=sinθ+cosθ的值.【解答】解:(1)若⊥,则=2cosθ﹣sinθ=0,tanθ==2,∴===.(2)∵||=1,||=,若|﹣|=2,,则有﹣2+=4,即1﹣2+5=4,解得=1,即2cosθ﹣sinθ=1,平方可得4cos2θ﹣4sinθcosθ+sin2θ=1,化简可得3cos2θ﹣4sinθcosθ=0,即tanθ=.再利用同角三角函数的基本关系sin2θ+cos2θ=1,求得cosθ=,sinθ=,∴=sinθ+cosθ=.【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算,同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,属于中档题. 17.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=,B=A+.(Ⅰ)求b的值;(Ⅱ)求△ABC的面积.【考点】正弦定理.【专题】解三角形.【分析】(Ⅰ)利用cosA求得sinA,进而利用A和B的关系求得sinB,最后利用正弦定理求得b的值. (Ⅱ)利用sinB,求得cosB的值,进而根两角和公式求得sinC的值,最后利用三角形面积公式求得答案.【解答】解:(Ⅰ)∵cosA=,∴sinA==,∵B=A+.∴sinB=sin(A+)=cosA=,由正弦定理知=,∴b=•sinB=×=3.(Ⅱ)∵sinB=,B=A+>∴cosB=﹣=﹣,sinC=sin(π﹣A﹣B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×(﹣)+×=,∴S=a•b•sinC=×3×3×=.【点评】本题主要考查了正弦定理的应用.解题过程中结合了同角三角函数关系,三角函数恒等变换的应用,注重了基础知识的综合运用. 18.已知平面向量=(cosφ,sinφ),=(cosx,sinx),=(sinφ,﹣cosφ),其中0<φ<π,且函数f(x)=(•)cosx+(•)sinx的图象过点(,1).(1)求φ的值;(2)将函数y=f(x)图象上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在[0,]上的最大值和最小值.【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;数量积的坐标表达式;两角和与差的余弦函数;余弦函数的定义域和值域.【专题】计算题. 【分析】(1)先根据两个向量数量积的坐标公式求出以及,再代入f(x)求出f(x)的表达式;根据图象过点即可求出φ的值;(2)根据函数图象的变换规律求出函数y=g(x)的表达式,再根据变量的范围结合函数的单调性即可求出函数y=g(x)在上的最大值和最小值.【解答】解:(1)∵……∴f(x)=(=cos(φ﹣x)cosx+sin(φ﹣x)sinx=cos(φ﹣x﹣x)=cos(2x﹣φ),…即f(x)=cos(2x﹣φ)∴f(﹣φ)=1,而0<φ<π,∴φ=.…(2)由(1)得,f(x)=cos(2x﹣),于是g(x)=cos(2(),即g(x)=cos(x﹣).…当x∈[0,]时,﹣,所以)≤1,…即当x=0时,g(x)取得最小值,当x=时,g(x)取得最大值1.…【点评】本题主要考查三角函数的平移以及向量的数量积.三角函数的平移原则为左加右减上加下减. 19.如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知AB=3米,AD=2米.(Ⅰ)要使花坛AMPN的面积大于32平方米,求AN长的取值范围; (Ⅱ)若AN∈[3,4)(单位:米),则当AM,AN的长度分别是多少时,花坛AMPN的面积最大?并求出最大面积.【考点】根据实际问题选择函数类型.【专题】应用题;导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)求出矩形的长与宽,求得矩形的面积,利用矩形AMPN的面积大于32平方米,即可求得AN的取值范围;(Ⅱ)求导数,确定函数y=在[3,4)上为单调递减函数,即可求得面积的最大值.【解答】解:设AN的长为x米(x>2)由于,则AM=故SAMPN=AN•AM=…(Ⅰ)由花坛AMPN的面积大于32平方米,得>32,∴2<x<或x>8,即AN长的取值范围是(2,)∪(8,+∞).…(Ⅱ)令y=,则y′=因为当x∈[3,4)时,y′<0,所以函数y=在[3,4)上为单调递减函数,…从而当x=3时y=取得最大值,即花坛AMPN的面积最大27平方米,此时AN=3米,AM=9米…【点评】本题考查根据题设关系列出函数关系式,考查利用导数求最值,解题的关键是确定矩形的面积. 20.已知二次函数h(x)=ax2+bx+2,其导函数y=h′(x)的图象如图,f(x)=6lnx+h(x).(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数f(x)在区间上是单调函数,求实数m的取值范围.【考点】函数的单调性与导数的关系;函数解析式的求解及常用方法.【专题】计算题;函数思想;综合法;导数的综合应用.【分析】(1)先求出f(x)的导数,通过待定系数法求出a,b的值,从而求出f(x)的解析式;(2)求出f(x)的导数,得到函数的单调区间,集合函数的单调性求出m的范围即可.【解答】解:(1)由已知,h′(x)=2ax+b,其图象为直线,且过(0,﹣8),(4,0)两点,把两点坐标代入h′(x)=2ax+b,∴,解得:,∴h(x)=x2﹣8x+2,h′(x)=2x﹣8,∴f(x)=6lnx+x2﹣8x+2,(2)f′(x)=+2x﹣8,∵x>0,∴x,f′(x),f(x)的变化如下:x(0,1)1(1,3)3(3,+∞)f′(x)+0﹣0+f(x)递增递减递增∴f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+∞)∴f(x)的单调递减区间为(1,3)要使函数f(x)在区间(1,m+)上是单调函数, 则,解得:<m≤.【点评】本题考查了求函数的解析式问题,考查导数的应用,考查函数的单调性问题,是一道中档题. 21.已知函数f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx.(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)设定义在D上的函数y=g(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为l:y=h(x).当x≠x0时,若>0在D内恒成立,则称P为函数y=g(x)的“转点”.当a=8时,问函数y=f(x)是否存在“转点”?若存在,求出“转点”的横坐标;若不存在,请说明理由.【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.【专题】导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)将a=1代入函数表达式,求出导函数得到单调区间从而求出函数的极值;(Ⅱ)a=8时,由y=f(x)在其图象上一点P(x0,f(x0))处的切线方程,得h(x)=(2x0+﹣10)(x﹣x0)+﹣10x0+8lnx0,设F(x)=f(x)﹣h(x)=,则F(x0)=0,F′(x)=f′x)﹣h′(x)=(2x+﹣10)﹣(2x0+﹣10)=(x﹣x0)(x﹣);分别讨论当0<x0<2,x0=2,x0>2时的情况,从而得出结论.【解答】解:(Ⅰ)a=1时,f′(x)=2x﹣3+=,当f′(x)>0时,0<x<,或x>1,当f′(x)<0时,<x<1,∴f(x)在(0,)和(1,+∞)递增,在(,1)递减;∴x=时,f(x)极大值=﹣+ln,x=1时,f(x)极小值=﹣2;(Ⅱ)a=8时,由y=f(x)在其图象上一点P(x0,f(x0))处的切线方程,得h(x)=(2x0+﹣10)(x﹣x0)+﹣10x0+8lnx0,设F(x)=f(x)﹣h(x)=,则F(x0)=0, F′(x)=f′x)﹣h′(x)=(2x+﹣10)﹣(2x0+﹣10)=(x﹣x0)(x﹣);当0<x0<2时,F(x)在(x0,)上递减,∴x∈(x0,)时,F(x)<F(x0)=0,此时<0,x0>2时,F(x)在(,x0)上递减;∴x∈(,x0)时,F(x)>F(x0)=0,此时<0,∴y=f(x)在(0,2),(2,+∞)不存在“转点”,x0=2时,F′(x)=(x﹣2)2,即F(x)在(0,+∞)上是增函数;x>x0时,F(x)>F(x0)=0,x<x0时,F(x)<F(x0)=0,即点P(x0,f(x0))为“转点”,故函数y=f(x)存在“转点”,且2是“转点”的横坐标.【点评】本题考察了利用导数求函数的单调性,求函数的最值问题,如何解决新定义的问题,是一道综合题.
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