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1、第九章定积分一、定积分的概念与性质１．定积分的概念求曲边梯形的面积在直角坐标系中，设有曲线y＝f(x)，y=f(x)我们不妨假定f(x)≥0，求y＝f(x)、x=ax=bx＝a、x＝b和X轴所围成的曲边梯形的面积。我们可以在[a,b]中任意插入n－1个分点把[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi]，其长度△xi＝xi－xi-1，在每一个小区间内任取一点ξi，用长为f(ξi)宽为△xi的矩形面积代替小曲边梯形面积△Si，则曲边梯形面积为这些矩形面积的和当n→∞时的极限。例1求由曲线y＝x2，X轴(即直线y＝0)和直线x＝1所围成的图形的面积。具体做法⑴分割：在[0,1]之间插入n－1个分
2、点，每一段记作△xi，则△xi＝，把梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积为△Si⑵近似替代：在△xi中任取一点ξi(例如左端点)，用矩形面积代替小曲边梯形面积△Si≈f(ξi)△xi＝⑶9⑷由此可见，求曲边梯形的面积问题可以通过分割、替代、作和式、求极限四个步骤，最终归结为求和式Sn的极限问题。[定积分的概念]设函数f(x)在[a,b]上有定义，在[a,b]中任意插入n－1个分点a＝x1＜x2＜…＜xn＜xn+1＝b，把[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi]，每一段的长度记作△xi＝xi－xi-1，在每一个小区间内取一点ξi，作和式Sn＝，若当n→∞时和式Sn的极限存在，则称此极限值为
3、f(x)在[a,b]上的定积分。其中a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积式，x叫做积分变量。[说明]1.曲边梯形的面积是函数y＝f(x)在[a,b]上的定积分。其中X轴上方的面积为正，X轴下方的面积为负。2.如果定积分存在，那么对[a,b]所作的分割是任意的，每一个小区间内ξi的取法也是任意的，当n→∞时，和式Sn9的极限都相同。[定理1]如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的定积分存在。函数f(x)在[a,b]上的定积分存在又称为函数f(x)在[a,b]上可积。2.定积分的性质定积分有下列三条主要
4、性质：⑴被积函数的常数因子可以提到积分号的前面，即，(k为常数)⑵两个函数的和(或差)在区间[a,b]上的定积分等于这两个函数在区间[a,b]上的定积分的和(或差)，即⑶如果将区间[a,b]分成区间[a,c]和[c,b]，即a＜c＜b，那么9二、牛顿－莱布尼兹公式运用定积分的定义求函数的定积分是一件很困难的事，而且和求不定积分一点都拉不上关系。有没有简单一点的方法呢？[定理2](牛顿－莱布尼兹公式)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，习惯上，我们常将F(b)－F(a)记作定理2 称为微积分基本定理。有了这一定理，定积分的计算问题就转化为求
5、原函数的问题了。[求定积分的一般步骤]1.用不定积分求出被积函数的一个原函数F(x)2.用F(b)－F(a)求出定积分的值。9注意：定积分表示的是一个数，而不定积分表示的是一族函数。解：∵是f(x)＝5x4＋ex的一个原函数解：∵∴[推论1]证明：设F(x)是f(x)的一个原函数，。9。[推论2]设f(x)在[-a,a]上连续，当f(x)为奇函数时,,当f(x)为偶函数时,,三、定积分在几何上的应用1.求平面图形的面积㈠当f(x)≥0时的情况当f(x)≥0时，曲线在X轴的上方，则f(x)在[a,b]上的定积分是曲线y＝f(x)和x＝a、x＝b、y＝0所围成的曲边梯形的面积。例1求曲线y＝
6、x2的下方与X轴上方在x∈[0,1]和x∈[-1,1]之间的面积，㈡当f(x)≤0时的情况当f(x)≤0时曲线在X轴的下方，令g(x)＝-f(x)，则g(x)＝
7、f(x)
8、≥0，则g(x)的曲线在X轴的上方， 9由此可得出一个结论：曲线y＝f(x)和x＝a、x＝b、y＝0所围成的曲边梯形的面积为。㈢两条曲线围成的图形的面积1.先研究两条曲线y＝f(x)、y＝g(x)与直线x＝a、x＝b围成的图形面积⑴当f(x)≥g(x)时，⑵当x∈[a,c]时，f(x)≤g(x)，x∈[c,b]时f(x)≥g(x)2.再研究两条曲线相交的情况设y＝f(x)与y＝g(x)相交于两点x1，x2。则两条曲线所
9、围成的图形的面积就是它们与直线x＝x1、x＝x2所围成的图形的面积例2.求y＝x2与y＝x所围成的图形的面积例3.求曲线y＝x2－1与直线y＝x＋1所围成的图形的面积91.求旋转体的体积㈠曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b，X轴所围成的曲边梯形绕Ｘ轴旋转所成的旋转体的体积例：求曲线段y＝x2，x∈[0,1]绕Ｘ轴旋转所成的旋转体的体积。解：㈡曲线x＝g(y)，直线y＝c，y＝d，Y轴所围成的曲边梯形绕Y轴旋转所成的旋转体的体积例：
