抛物线的弦中点与弦长的相关性质及运用22

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1、抛物线的弦中点与弦长的相关性质及运用22抛物线的弦中点与弦长的相关性质及运用龙胜(吉首大学数学与计算机科学学院，湖南吉首416000)摘要：本文总结并证明了抛物线的焦点、弦中点、弦长以及弦所在直线的方程的一些相关性质，比如利用抛物线中有一弦过焦点,且弦长已知,求此弦中点坐标•而本文避开了要将直线方程代入抛物线方程，得出一个一元二次方程,再应用韦达定理求出xl?x2所带來的麻烦.关键词：抛物线;焦点;弦长;弦所在直线方程.Themidpointandstringstringparabolarelatedpropertiesandapplication.Lo

2、ngLongSheng(DepartmentofMathematicsandComputerScienceJiShouHunan416000)Abstract:Inthispaperwesummarizesandprovesomepropertyofthefocusofaparabola,medianpointofthechord,thelengthofthechordandtheequationofthestraightlinewhichthechordin」nordertogetthemedianpointofchord,wesubstituteth

3、eequationofthestraightlineintotheeauationoftheparabola,thengetaquadraticequationofonevariable.WiththehelpofVietatheoremwecangettheanser.Hereweattempttoavoidsuchtrouble・Keywords:Parabola;focus;Chord;Linearequation一、过焦点的弦的性质为了行文方便，我们假定用A表示一元二次方程的判别式且p>0.定S1设抛物线y2?2p(x??),(??R)中有一弦过

4、焦点，且弦长为m,则弦的中点坐标(m?p?2?22或(m?p?2?2,?2.证设过焦点F(p?2?2,0)JBL弦长为m的弦的中点为C(xO,yO),弦的端点分别为A(xl,yl).B(x2,y2).1(I)当(xl?x2)时贝J弦AB与x轴垂直，此时弦长AB为最短•将X?p?2?2代入y2?2p(x??)得，y2?p2,y??p,???2p,故m?2p当m=2p时，过焦点的眩的中点即为焦点卩(p?2?26于是定理成立・(11)不失一般性，设xl?x2,yl?y2?于是(xl,yl),(x2y2)应满足y?2p(x??)•……?1?V?xO?yOp?2?

5、2(x?p?2?2)……⑵???m••…(3)由⑵得x?2xO?p?2?2y0y?p2y?p?2?2)・・・(2‘)・由⑴、(2,)得y?2p(2xO?p?2?)y0•即y2?p(2x0?p?2?)y0y?p?0...(4)由⑷得yl?y2?p(2xO?p?2?)yo,2yO2?(2xO?p?2?)p...(5)于是方程(4)化为y2?2yoy?p2?0-(4,)??4(yo?p),y2?yl?x2?xl?(2xo?p?2?)p2yop22222?由(2‘)及⑸得(y2?yi)?(x2?xl)?(y2?yl)?yO?PP24(yo?p)P222?m722

6、(y0?p)?mp,y0?222P(m?2p)2$O,yO??2'由⑸式得xO?m?p?2?29所以弦中点的坐标为(m?p?2?2图1注：1•在上面弦的1+1点坐标公式屮，易见当m?2p(即弦过焦点且与x轴垂直时)中点坐标就变为(p?2?2,0),中点即为焦点，因此(I)是(II)的特殊情形.2•从图1中可以看出，当m>2p时，长为m的弦有两个中点.3•在定理1中，如果将方程y2?2p(x??)改为y2??2p(x??),则结论改为(p?2??m22-,?定理2如果抛物线y2?2p(x)中有一弦的中点坐标是m?p?2?22或(m?p?2?22(,?.则此

7、弦必过抛物线的焦点JL弦长为m.证明我们仅讨论抛物线y2?2p(x??)的情形,y2??2p(x??)类似讨论•设此弦的端点坐标分别为A(xl,yl),B(x2,y2)我们仅就C点坐标为3m?p?2?2加以证明,(p?2??m2,?2类似可证.由假设有xl?x2?m?p?2,yl?y2(I)当m?2p时由y2?yl?2p(x2?xl)得/22y2?ylx2?xl■?■■・・・(6)由此得弦AB的方程为y?m?2p22x?m?p?2?2)-(7).令y?0,得??x?m?p?2?2/X?p?2?2，即弦AB必过焦点卩(mm?2pp?2?2,0).由⑹式得(

8、y2?yl)2?(x2?xl)2?(2p(m?2p)42pm?2p2pm?2p?