一类含绝对值竞赛题的求解策略

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1、含绝对值竞赛题的求解策略浙江上虞春晖屮学王启东（312353）有关含绝对值的试题，尤其是绝对值与不等式的综合试题在各级各类数学竞赛屮频频出现，本文就此介绍一些常见的求解策略。1、凑配的策略该策略是根据题设条件或结论进行凑配，如：分组、添项、裂项等方法,以达到解决问题的冃的。例1、函数/（劝在［0,1］上连续,/（0）=/（1）,且对任意不同的x1?x2g［0,1］,都有I/（XI）-/（X2）1<1%］-X2I,求证:（1983年全国联赛试题）解：•・•/（兀）在［0,1］上连续，・'・/（兀）在［0,1］上有最人值和最小值。不妨设最大值M=/（^）,最小值加=〃2）山』2€［0,1］

2、（1）当1<1时，

3、/（兀2）—/（和凶/仏）—/（『2）1<站—『21即：丨/（兀2）-・心）1<*（2）当I“一匚I〉㊁时，设斤V『2即：‘°—人〉㊁l/（x2）-/（x1）l

4、—0I+I1—II/、1=l-(/2-r1)<-若t2

5、eR(i=1,2,…y>2)满足工Ixi1=1,工旺=0,/=!/=!求证:（1989全国联赛试题）证明：设Sr=兀］+兀2xk9T工兀=0，工I兀1=1(=1/=1・・.S“=0,且ISt1<((心1,2,…’一1)不妨设S()=0,则Xi=Sh(11无解,求证:l

6、bl

7、»右。（第20届美国数学竞赛）证明：如果对一切兀°,儿引°，1］，卜（）儿-/（兀（））-巩儿）

8、、+不成立，考虑在端点的特殊值得：l=

9、[lxl-/(l)-g(l)]-[lx0-/(l)-g(

10、0)]-[0xl-/(0)-g(l)]+[0x0-/(0)-g(0)]=

11、lxl-/(l)-g(l)

12、+

13、lx0-/(l)-5(0)

14、+

15、0xl-/(0)-g(0)

16、+

17、0x0-/(0)-g(0)〈丄+丄+丄4-1=1矛盾。即假设不成立。4444・・・原命题成立。4.三角换元的策略例5.已知ai,a2WR,zi,Z2是复数，求证：2”忆]+tz2z2

18、2<(a：+

19、z2

20、2+zf+z；2J(1989《屮学生数理化》征解题)证：设并设ai=Rcos0,a2=Rsin0则原不等式等价为：2

21、cos0・Z］+sin^-z2=2(cosO・Z

22、+sin&Z2)(cos&・Z

23、+sin^-z2)

24、=2zt~cos^+2z2sin&+(©•乞+z?•)sin2&・・・上述不等式化为：Z

25、『(2cos26^-1)4-1^212(2sin2(9-1)4-(zt•s+勺•)sin20

26、z『_

27、z2『)cos0+(ZiZ2+Z2Z])sin205zf+z；而左边WJ(

28、z『_比2

29、2)2+(Z

30、Z2+EZ

31、)2=th/29—22=V（Z「+Z2「）（Z

32、+0）二JZ]2+Z22_=Z]2+打二右边・••原不等式成立。5、反证的策略正难则反，反证法是解决数学问题的常用策略，也是处理绝对值的强有力工具。例6已知a,b,c均为实数，月.a>100,证明最多有二个整数X,使ax2+

33、bx+c<50o（1991年江苏省数学夏令营试题）证明：假设有三个不同的整数坷、兀2、兀3，满足cix2+bx+c<50,则由抽屉原则州、*2、兀3中必有两个同时大于-22a（或同时小于-炸）不妨设X2>Xj>一・・・州、兀2均为整数,a（£+x2）+b>2axx+a+b>a从而{ax+bx2+c）-（oi]2+/zX]+c）=

34、[o（兀]+x2）+6（x2-x}）

35、>a>100另一方面：（ax??+bx7+c）-（dX[2+/?x,+c）