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1、解析几何竞赛题求解的几种常见策略陈硕罡吴国建（浙江省东阳中学322100）解析几何作为高中数学的重耍内容2—，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其方程）描述儿何元素及其关系，将儿何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的儿何意义，最终解决儿何问题。解决儿何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要具有较强的运算能力，所以解析几何一肓是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一般冇一或两道填空题和一道解答题，分值在3（）分左右，占一试总分值的
2、四分之一，其重要性不言而喻。下面笔者结合口己的教学实践，提出解析儿何竞赛题求解的儿种常见策略，与同仁们探讨。一、用甫数（变量）的观点來解决问题函数是描述客观壯界屮变最间依赖关系的重要数学模型。抓住问题屮引起变化的主变最，并用一个具体的量（斜率或点的坐标等）來表示它，同时把问题中的的因变量川主变量表示出來，从而变成一个两数的问题，这就是解决问题的函数观点。在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量（很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（而积或长度等）的变化的情况，所以函数观点成为了解决解析儿何的-•种重要方法。【例1]（2010全国高中数学联赛试题）已知抛物线y2=6x
3、上的两个动点力（旺J）和Eg,%），其中X]x2Hx}+x2=4.线段的垂直平分线与X轴交于点C,求面积的最大值.【分析】通过对题目的分析可以发现线段AB小点的横处标己经是定值，只有纵朋标在变化，可以把AB屮点的纵坐标作为主变量，这样只要把ABC的面积表示成以AB中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。【解析】设线段AB的中点M坐标为（（2,几），则则直线AB的斜率：=_^_=26^~~6线段AB的屮垂线方程：y-y0=-^（x-2）f易知线段AB的屮垂线与兀轴的交点为定点C（5,0）3直线AB的方程：y-y（）=—（兀—2）,联立抛物线方程消去x可得
4、：y2-2y（）y+2y^-12=0（1）,由题意,儿儿是方程（1）的两个实根，且必工旳，所以A=4尤一4（2尤一12）＞0亠一2巧＜儿＜2希点C(5,0)到直线AB的距离：h=1CM1=+yl"仅当9+忧=24-2尤，即儿=土亦，点、注乎出+衙）丿（豊亦“）或力（6+后,-V5->/7）,bL底，-厉+街）时等号成立，所以ABC面积的最人值为—护。333【评析】在解答过程中用韦达定理代入消元转化，蕴含了“设而不求”的解题策略，把面积S表示为中点坐标几的函数，同时注意几的取值范围，体现了函数问题首先关注定义域，在对两数求最值的过程小运用了基本不等式，其实也可设9+忧=/
5、/丘[9,21）,转化为一个/的三次函数，利用导数求最值也是一种常用技巧。【例2]（2009全国高中数学联赛试题）设直线l:y=kx-^m（•其中k,m为整数）与椭圆工+尤=1交于161229不同两点右B,与双曲线—-^=1交于不同两点C,问是否存在直线/,使得向量疋+丽=0,412若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.【分析】通过分析可以看出本题的根本变量是直线方程屮的久弘所以其余各量均可川久加，所以我们这里可用一个二元函数/伙，加）来表示疋+丽，木题就转化为解二元方程/伙，加）=0・y=kx+m【解析】由｛兀2尹2消去y化简整理得：（3+4疋）++8伽
6、X+4加2_48=（）11612设力（召，必），B（兀2，歹2），则兀1+£=,.=（8肋?『一4（3+4，）（4刃$-48）>0①3+4ky=kx+m消去尹化简整理得:（3-A2）x2-2kmx-m2-12=0=1由兀2/412设Cg'jJ£）（兀，儿），则X3+x4=2km3-k2A2=（-2km）2+4（3-）（w2+12）＞0②因为走+丽=0,所以（兀_吃）+（心_斗）=（）,此时（几一必）+（儿一X）=°•
7、+
8、X,+x2=x3+x4得Skrn_2km3+4疋一3-疋nMN的两个动点，且满足Z如肓•设线段AE的屮点M在，上的投影沁则蔺的最人•值是—7T【分析
9、】根据梯形的屮位线定理和抛物线的定义，IMN=IAFI+IBFI,结合ZAFB=—,可用余弦定理得出3寺/P.天糸Q力F+BF【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理^MN=.在MFB中,山余弦定理得AB-2AF•
10、BF
11、cos-=（AF4-
12、bf
13、）2-3AF-bf>（"I+阿）2-3严；亦）2=（肚；BFy=
14、W
15、当口仅当
16、/F
17、=BF时等号成立.故MN^AB的最大值为1.【评析】一些解析几何客观题，往往需耍借助圆锥曲线的定义和平面几何的一些性质进行解题。【例4](2005全国高中数学联赛试题)过抛
