解析几何中轨迹问题的求解策略

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1、解析几何中轨迹问题的求解策略文/刘光明求曲线方程的常用思路和方法1.直译法例1求与y轴相切，并且和圆外切的圆的圆心的轨迹方程.解由，有.设动圆的圆心P的坐标为(x，y).根据题意设点A的坐标为(2，0)，则有，即.化简整理得.当时，当x﹤0时，y=0.综上可知，所求圆心的轨迹方程为(x0)或y=0(x0).小结直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x、y，所得方程即为所求动点的轨迹方程.用直译法求解，列式容易，但在对等式等价变形与化简过程中应特别留心是否需要讨论.2.定义法例2已知圆C：内一点A(1，0)，Q点为圆C上任意一点，线段A

2、Q的垂直平分线与线段CQ连线交于点M，求点M的轨迹方程.解连接AM，点M在线段AQ的垂直平分线上，则AM=MQ.，∴.故点M(x，y)到点C(-1，0)和点A(1，0)的距离之和是常数5，且5>2.所以点P的轨迹是一个以A、C为焦点的椭圆.∵2a=5，2c=2，∴.∴点M的轨迹方程为.小结若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程.用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，然后用待定系数法求解.3.代入法例3抛物线x2=4y的焦点为F，过点M(0，-1)作直线交抛物线于不同两点A、B，以AF、B

3、F为邻边作平行四边形FARB，求顶点R的轨迹方程.解设点R的坐标为(x，y)，平行四边形FARB的对角线的点为P(x0，y0)，F(0，1)，由中点坐标公式可得.设A点的坐标为(x1，y1)，B(x2，y2)，则可知x1≠x2,且x12=4y1，x22=4y2.上述两式对应相减得x12-x22=4(y1-y2).从而有.又A、P、B、M四点共线，且，由KAB=KPM可得x02=2(y0+1).把代入上式并整理得x2=4y+12.小结动点是直线被圆锥曲线截得的弦中点，只要通过代点作差并以弦的斜率作为过渡，即可获得动点的轨迹方程.事实上这就是

4、中点弦问题的处理方法.4.参数法2OAmPXYl例4已知点P在直线x=2上移动，直线通过原点且和OP垂直，通过点A(1，0)及点P的直线m和直线相交于点Q，求点Q的轨迹方程.解如图1所示，设OP所在直线的斜率为k，则点P的坐标为(2，2k).由，得直线的方程为x+ky=0.①易得直线m的方程为y=2k(x-1).②由于点Q(x，y)是直线和直线m的交点，所以将①②联立，消去k，得点Q的轨迹方程为(x≠1).图1小结当动点坐标满足的等量关系不容易直接找到时，我们可选取与动点坐标有密切关系的量(如角、斜率k、比值等)作参数t，根据已知条件求出

5、动点的参数式方程，然后消去参数t即可得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫参数法.圆与圆锥曲线的轨迹问题例5如图2所示，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上.(1)求边所在直线的方程.(2)求矩形外接圆的方程.(3)若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程.解(1)边所在直线的方程为.(2)矩形外接圆的方程为.(3)因为动圆过点，所以是该圆的半径.又动圆与圆外切，所以，即.故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支.因为实半轴长，半焦距，所以虚半轴长.从而动圆的圆心的轨迹方程为.小结根据题设

6、条件，分析矩形图形的有关性质，通过解由两个直线方程组成的方程组求得圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出半径，从而得出“矩形ABCD的外接圆”的标准方程.本题的第(1)问和第(2)问，将平面几何中的一个重要而基本的图形——矩形与圆结合起来，难度不大，但考查的基础知识却不少.立体几何与解析几何的轨迹问题1.轨迹为椭圆PBαA例6如图3所示，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线解根据△ABP的面积为定值，线段AB是定值，则动点P到线段AB的距离也是

7、定值，设此定值为d，所以点P在平面的轨迹是一个以d为半径且与线段AB垂直的圆在平面上的投影，即为椭圆.选B.小结涉及面积、点到直线的距离等多个知识点的综合，实质利用投影，考查对椭圆图像的理解.B1D1C1.PDABCA12.轨迹为抛物线例7如图4所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一个动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线解由C1D1⊥平面BB1C1C，得PC1⊥C1D1，所以PC1就是点P到直线C1D1的距离.因此已知条件转化为点P到BC的

8、距离等于点P到点C1的距离.根据抛物线的定义，可知点P的轨迹所在的曲线是抛物线.选D.小结例6和例7均巧妙地利用了题中某些定值定量条件，从而转化为定义法来判定动点轨迹.这其实也是解析几何中求轨