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1、透析解析几何中轨迹问题的求解策略纵观历年的高考试题，圆锥曲线问题有以下几大热点：(1)互化问题；(2)圆锥曲线基础题；(3)轨迹问题；(4)范围问题；(5)位置问题;(6)最值问题•解析几何解答题每年高考固定一题，其中轨迹问题的探求在高考中出现的频率最高，也是学生感到比较棘手的一类问题•所以对于解析几何中轨迹问题的求解策略有必要再进行一些探究.一、解析几何轨迹问题1・直译法例］求与y轴相切，并且和圆A：x2+y2-4x=0外切的圆的圆心的轨迹方程.解由x2+y2-4x二0,有(x-2)2+y2二22.设动圆的圆心P的坐标为(x,y)•根据题意知点
2、A的坐标为(2,0),则有
3、PA
4、=
5、x
6、+2,即(x-2)2+y2二
7、x
8、+2.化简整理得y2=4x+41x.当x20时，y2=8x；当x〈0时，y二0.综上可知，所求圆心的轨迹方程为y2=8x(x20)或y二0(x<0)・小结：直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点坐标中x、y的等式，所得方程即为所求动点的轨迹方程•用直译法求解，列式容易，但在对等式等价变形与化简过程中应特别留心是否需要讨论.2.定义法例2已知圆C：(x+1)2+y2二25内一点A(1,0),Q点为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与线段CQ连线交于点M,求点M的轨迹方
9、程.解连接AM,点M在线段AQ的垂直平分线上，则AM二MQ.因为
10、CM
11、+
12、MQ
13、=5,所以
14、CM
15、+
16、MA
17、二5.故点M(x,y)到点C(-1,0)和点A(1,0)的距离之和是常数5,且5>2•所以点P的轨迹是一个以A、C为焦点的椭圆.因为2沪5,2c=2,所以b2=a2-c2=214,所以点M的轨迹方程为x2254+y2214二1.小结：若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程•用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，然后用待定系数法求解.3•代入法例3抛物线x2二4y的焦点为F,过点M(0,-
18、1)作直线交抛物线于不同两点A、B,以AF、BF为邻边作平行四边形FARB,求顶点R的轨迹方程.解设点R的坐标为(x,y),平行四边形FARB的对角线的交点为P(x0,y0),F(0,1),由中点坐标公式可得x0=x2,y0=y+12.设A(xl,yl),B(x2,y2),则可知xlHx2,且x21=4yl,x22=4y2.上述两式对应相减得x21-x22=4(yl-y2).从而有kAB二x02.又A、P、B、M四点共线，且kPM=y0+1x0,由kAB-kPM可得x20二2(y0+l)・把x0=x2,y0二y+12代入上式并整理得x2二4y+1
19、2・小结：动点是直线被圆锥曲线截得的弦中点，只要通过代点作差并以弦的斜率作为过渡，即可获得动点的轨迹方程•事实上这就是中点弦问题的处理方法.4.参数法例4已知点P在直线x=2上移动，直线1通过原点且和0P垂直，通过点A(1,0)及点P的直线in和直线1相交于点Q,求点Q的轨迹方程.解如图1所示，设0P所在直线的斜率为k,则点P的坐标为(2,2k).由1丄0P,得直线的方程为x+ky二0.①易得直线m的方程为y=2k(x—1)•②由于点Q(x,y)是直线1和直线m的交点，所以将①②联立，消去k,得点Q的轨迹方程为2x2+y2-2x=0(xHl)・小
20、结：当动点坐标满足的等量关系不容易直接找到时，我们可选取与动点坐标有密切关系的量(如角、斜率k、比值等)作参数t,根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数t即可得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫参数法.二、圆与圆锥曲线的轨迹问题例5如图2所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T(-1,1)在AD边所在的直线上.(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程；(3)若动圆P过点N(-2,0),且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程.解(1)AD边所在
21、直线的方程为3x+y+2二0.(2)矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2二8.(3)因为动圆P过点N,所以
22、PN
23、是该圆的半径.又动圆P与圆M外切,所以
24、PM
25、二
26、PN
27、+22,即
28、PM
29、-
30、PN
31、二22.故点P的轨迹是以M,N为焦点，实轴长为22的双曲线的左支.因为实半轴长a二2,半焦距c二2,所以虚半轴长b=c2-a2=2.从而动圆P的圆心的轨迹方程为x22~y22=l(xW-2)・小结：根据题设条件，分析矩形图形的有关性质，通过解由两个直线方程组成的方程组求得圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出半径，从而得出“矩形ABCD的外接圆”
32、的标准方程•本题的第(1)问和第(2)问，将平面几何中的一个重要而基本的图形一一矩形与圆结合起来，难度不大，但考查的基础知识却不少.三、
