解析几何竞赛题求解的几种常见策略.doc

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1、.解析几何竞赛题求解的几种常见策略硕罡吴国建（省东阳中学322100）解析几何作为高中数学的重要容之一，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要具有较强的运算能力，所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一般有一或两道填空题和

2、一道解答题，分值在30分左右，占一试总分值的四分之一，其重要性不言而喻。下面笔者结合自己的教学实践，提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略，与们探讨。一、用函数(变量)的观点来解决问题函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。抓住问题中引起变化的主变量，并用一个具体的量（斜率或点的坐标等）来表示它，同时把问题中的的因变量用主变量表示出来，从而变成一个函数的问题，这就是解决问题的函数观点。在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量（很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（面积或长度等）的变化的情况，所以函数观点成为

3、了解决解析几何的一种重要方法。【例1】（2010全国高中数学联赛试题）已知抛物线上的两个动点和,其中且.线段的垂直平分线与轴交于点,求△面积的最大值.【分析】通过对题目的分析可以发现线段AB中点的横坐标已经是定值，只有纵坐标在变化，可以把AB中点的纵坐标作为主变量，这样只要把的面积表示成以AB中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。【解析】设线段AB的中点M坐标为（，则则直线AB的斜率：线段AB的中垂线方程：，易知线段AB的中垂线与轴的交点为定点直线AB的方程：，联立抛物线方程消去可得：（1），由题意，

4、是方程（1）的两个实根，且，所以弦长点C(5，0)到直线AB的距离：则当且仅当，即，点或时等号成立，所以面积的最大值为。【评析】在解答过程中用韦达定理代入消元转化，蕴含了“设而不求”的解题策略，把面积S表示为中点坐标的函数，同时注意的取值围，体现了函数问题首先关注定义域，在对函数求最值的过程中运用了基本不等式，其实也可设..，转化为一个的三次函数，利用导数求最值也是一种常用技巧。【例2】（2009全国高中数学联赛试题）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指

5、出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【分析】通过分析可以看出本题的根本变量是直线方程中的,所以其余各量均可用，所以我们这里可用一个二元函数来表示，本题就转化为解二元方程.【解析】由消去化简整理得:设，，则,①由消去化简整理得:设，，则,②因为，所以，此时．由得．所以或．由上式解得或．当时，由①和②得．因是整数，所以的值为，，，，，，．当，由①和②得．因是整数，所以，，．于是满足条件的直线共有9条．【评析】如果题目中的主变量需要用两个变量来表示时，可先把这个因变量表示为一个两元函数，如题设中有其他条件能找到这两个变

6、量间的关系，那只需用一个两来表示另一个量，这时就可转化为一元函数，这也体现了解析几何中“设而不求”的思想；如题设条件不能直接给出两变量者之间的关系，我们可直接对二元函数进行处理.二、用平面几何的知识来解决问题解析几何是用坐标法把几何问题代数化，用代数的方法来解决几何问题，但说到底解析几何还是几何。在解决某些解析几何问题的时候，如果其平面几何背景非常明显的时候，我们往往可以借助平面几何知识来快速准确解决问题。【例3】(2012全国高中数学联赛试题)抛物线的焦点为F，准线为，A、B是抛物线上的两个动点，且满足．设线段ＡＢ的中

7、点M在上的投影为N，则的最大值是________【分析】根据梯形的中位线定理和抛物线的定义，

8、MN=

9、AF

10、+

11、BF

12、，结合，可用余弦定理得出等量关系。【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得在中,由余弦定理得当且仅当时等号成立.故的最大值为1.【评析】一些解析几何客观题，往往需要借助圆锥曲线的定义和平面几何的一些性质进行解题。【例4】（2005全国高中数学联赛试题）过抛物线y=x2一点A..(1,1)作抛物线的切线交x轴于D，交y轴于B，C在抛物线上，E在线段AC上，，F在线段BC上，，且λ1+λ2=1，线段CD与E

13、F交于P，当C在抛物线上移动时，求P的轨迹方程。【分析】通过初略计算可知D为AB的中点，而题设中有很多的线段比例关系，可考虑用三角形的面积之比来解决问题。【解析】AB的方程为故D是AB的中点.令则因为CD为的中线，所以是的重心.设因点C异于A，则故重心P的坐标为消去得故所求轨迹方程为【评析】从函数的观点进行分析，易发