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1、数列综合应用题型一:等差、等比数列的综合应用例]、已知等比数列{aj的公比为q,前n项的和为S”,HS3,56,S9成等差数列。练习:1、(2009宁夏海南卷理)等比数列{色}的前n项和为陥,且4坷,2勺,勺成等差数列。若fl1=l,则耳二(A)7(B)8(3)15(4)162、记等差数列仏}的前n项的和为S“,设53=12,且2⑷,g如+1成等比数列,求(1)数列血}的通项公式;(2)求S“的表达式。题型二:数列与函数、不等式的综合应用例2:己知f(x)是定义在正整数集N*上的函数,当x为奇数时,f(
2、x+l)・f)(x)=l,当x为偶数时,f(x+l)・f(x)=3,且满足f(l)+f(2)=5o(1)求证:{f(2n-l)}(nwM)是等差数列;(2)求f(x)的解析式。练习:1、(2009安徽卷文)(本小题满分12分)己知数列{的前n项和*二数列心}的前n项和零"%(I)求数列{耳}与{毎}的通项公式;(II)设务=£•如,证明:当口仅当nN3时,【思路】由a=(H=1)对求出d”和仇,这是数列中求通项的常用方法2—,在匕一昭1(心2)求出a”和仇后,进而得到c“,接下来用作差法来比鮫大小,这也
3、是一常用方法。【解析】(1)由于%=6=4当n>2时,an=sn-sn_x(2h2+2n)-[2(n-l)2+2(/i-1)]=4n/.am=4/z(nwN")又当心时bn=T-T^-(2-6J-(2-bQ•••2bn=几・•・数列{仇}项与等比数列,其首项为1,公比为+bn=(l)^1C16®+1)2.(纽”⑵由⑴知C}=a^bn=6i^-)n-[.•.严=f——25⑹2.(丄严2n-•f+15+1)22n22由普<】得詈<1即宀2—即心又心时譬<]成立,即号<1由于―血成立.因此,当JL仅当7
4、7>3时,Cn+l<Cn2・(湖处墓理14)已知函数f(x)=2x,等差数列{ax}的公差为2•若/(色+為+。6+。8+4())=4,则••…/(6ZI0)]=.解:依题意a。+①+%++角。=2,所以a】+03+05+^7+。9=2—5x2=—8・・・畑・他)•他3)••…/(^10)==2"=1隅[/(q)・.fa)・/a)…/(^0)]=-6题型三:数列的实际应用例3:某地区原有木材存量为a,且每年增长率为25%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b,设为n年后该地区森林木材存量。(1)求
5、Q“的表达式;719⑵为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材存量不少于一a,如果b=—a,972那么该地区今后会发生水土流火吗?若会,需要经过几年(取lg2=0・30)?练习:某市2003年共有1万辆燃汕型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交年每年的投入比上一年增加50%,试问:(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车?(2)到那一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的丄?近年典型高考或诊断题组。(2009江西卷文)(本小题满分12分)数
6、列{an}的通项色=n2(cos2—-sin2—),其前n项和为S”.(1)求s“;n-4/?7J....2n兀•2介兀..解:(1)rtl于cossin"——=cos,故333^3k=(。1+勺+)+(。4+冬+)+…+(。3&一2+畋一1+畋)(2)bn=十,求数列(bn}的前n项和Tn.饥4一弘)S3—1=S3&_除2222k(4-9k)(3k-y1,3k-2+=——k=n=3k-2n1~3~6,(n+l)(l-3n)6n(3n4-4)n=3k宀;%+4(2)b=亠一一2・4"“n-4H丁113
7、229n+4n"24424“1ri-229/2+4,4T=—[1311:—],”244"两式相减得1999n+413一尹+君…+戸一〒2尹+4“-14"999〃+419n]=8"?44"4,?2n-322,,+I'3/2813_3-22n_3~(2011福建理16题13分)13己知等比数列{唧的公比q=3,前3项和S3=—(I)求数列{an}的通项公式;TT(II)若函数f(x)=Asin(2x+(pA>0,0<^?
8、列仏}满足2an+x-an=an+2,a,=1a2=2obn=y]anan+},Slt为bn的前nn2+n(n+I)2项和。(1)求%的通项公式。(2)证明:-——2时屛曲-a2n=2(Srt+1-Sn_t)成立。(1)求数列{色}的通项公式;(2)设代="小,则数列{代}的前n项和为7;,证明:-