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1、类比引领问题驱动自主探究【关键词】教学设计;二项式定理;类比；问题;探究【中图分类号1G633.6【文献标志码】A【文章编号）1005-6009（2015）30-0043-03【作者简介】王伟，南京市第一中学（南京，210001）教师。【教学过程】一、创设情境，激发兴趣师：在必修3课本中，有一道课后习题，我做了适当改编，请同学们思考。（问题1）口袋中有形状大小相同的一只白球和一只黑球，先摸出一只球，记下其颜色后放回，再摸出一只球，记下其颜色后放回……（用a代表白球，b代表黑球），如果有放回的摸两次，共有多少种结果？生1：枚举法，共4种，分别是aa,ab,ba,bb。生2：利用
2、乘法原理，2X2二4。设计意图：传统教法中，《二项式定理》这节课往往由（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展开式归纳猜想（a+b）n的展开式。本节课，我通过把握新知与旧知的最佳结合点创设问题情境，从知识间的内在联系、逻辑发展入手，引导学生主动探究,从而通过知识的迁移形成新的知识,并通过摸球问题的引入为后续学习随机变量及其概率分布中二项分布做铺垫。二、类比引领，问题驱动师：如果有放回的摸三次球，共有多少种结果？生1：由乘法计数原理，共8种。师:哪8种？生2：aaa,aab,aba,abb,baa,bab,bba,bbb0设计意图：一个问题有多种解决方案，枚举法或者计算原理
3、，复习旧知，凸显计算原理的优越性。师：（问题2）在有放回的摸三次球所得的结果中，如果按照取出白球的个数进行分类，共冇几类？每类冇多少种结果？如何得到？生1：共4类，分别是3个白球，2个白球1个黑球，1个白球2个黑球，3个黑球。生2：每一类分别有1,3,3,1种情况，可以由上一问的8种结果得到。生3：比如说得到2个白球1个黑球，就相当于在三次摸球屮有两次出现了白球，可以由组合知识得到，用组合数表示为（：・■种。师：类似地，其他几类如何用组合数表示？生4：分别为C・・。师：通过対有放回的三次摸球的研究，你能联想到哪个公式？生：完全立方公式。师：展开式是什么？生：（a+b）3=a3
4、+3a2b+3ab2+b3o设计意图：通过追问激发学生自主探究的欲望，并引导学生利用排列组合的知识解决相关问题。师：(问题3)(a+b)3的展开式与有放回的摸三次球有何联系？请同学们四人一组讨论。生1：展开式屮各项系数和摸球问题屮每类情况的种数一样。生厶展开式中各项系数和为8,而摸球问题中共有8种情况，两者一样。生3：感觉展开式中的项和摸球问题的每一类是一样的，比如a2b这一项相当于是摸岀2个白球1个黑球，但说不清理由。师：哪个同学能帮他解释一下？生4：(a+b)3可以看成三个(a+b)相乘，展开式中每一项都是由每个括•号中各取一个字母相乘得到，比如说要想得到a2b这一项，相
5、当于在三个括号中有两个取a,一个取b,然后相乘得到，这和三次摸球问题中有两次取到白球一次取到黑球是一样的。师：同学们刚刚的回答都找出了(a+b)3与三次摸球问题之间的联系，特别是最后一个同学，将(a+b)3的展开过程和摸球问题之间的等价关系分析得非常透彻。设计意图：通过小组合作交流，引导学生化抽象为具体，将(a+b)3展开的过程和结果与摸球问题进行类比，找出两者之间本质的联系。师：根据对三次摸球和(a+b)3展开式之间的联系，你能否写出(a+b)6的展开式？(学生黑板板书并说明理由)生：(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6o师
6、：请说明理由。生：(a+b)6相当于六个(a+b)相乘，展开式中每一项都是由每个括号中各取一个字母相乘得到，如果每个括号中全部取a,得到a6,共C■■种，如果有五个括号中取a,—个括号中取b,得到a5b,共(：・■种,依此类推，可以得到其他项。师：(a+b)6的展开和摸球问题有何联系？生：(a+b)6的展开相当于有放回的摸六次球，比如说a5b这一项，相当于六次取球中有五次取白球，一次取黑球。设计意图：巩固(a+b)3的展开式的研究方法，自主探究特殊情况下(a+b)n的展开式，再次将展开过程与摸球问题进行联系，进一步体验展开式中每一项与每项系数的产生过程，为后续研究(a+b)n
7、做铺垫。三、口主探究，形成定理师：我们已经探究了(a+b)3,(a+b)6的展开式，接下來研究一般情况，你能否写岀(a+b)n(n^N*)的展开式？生：(a+b)n=CHHan+CH■an-lb+,,*+CHHbrio师：请说明理由并说出(a+b)n展开式与摸球问题之间的联系。生：(a+b)n相当于n个(a+b)相乘，展开式中每一项都是山每个括号中各取一个字母相乘得到的，如果每个括号中全部取a,得到an,共C■■种，如果有叶1个括号中取a,—个括号中取b,得到an-lb,共C■■种，依此类推，可以得到其
