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1、浅谈整数矩阵及其填充问题摘要：文章证明了如果一个部分整数矩阵有一条自由对角线，那么这个矩阵能被填充为一个单模矩阵。这样一个条件从一般意义上讲也是必耍的。随后证明了如果一个nXn（n?叟2）部分整数矩阵有2n~3个确定的元素并但这些元素中任何n个不构成一行或一列，那么这个矩阵能被填充为一个单模矩阵，这个结果改进了詹的一个最近的结果。Abstract:Thepapershowsthatifpartialintergermatrixhasafreediagonal,thenthematrixcanbefilledwithasingle-modematrix.Su
2、chaconditionfromthegeneralsons。isalsonecessary.ThenprovedthatifanXn（n?叟2）partialintergermatrixhas2n~3determiningelementsandtheseelementsdonotconstituteanyroworcolumn,thenthismatrixcanbefilledwithasingle-modematrix.ThisresultimprovedthecurrentresultsofJohn.关键词：整数矩阵；填充；问题研究Keywords:
3、intergermatrix；falling；research中图分类号：015文献标识码：A文章编号：1006-4311（2010）33-0253-011整数矩阵的性质为了表达的简单，我们仅仅考虑有理整数Z上的整数矩阵，但是所有的结果都可推广到更一般的矩阵环上。令Mn(Z)是在nXn矩阵上Z的环。一个矩阵AeMn(Z)被称为单模矩阵如果detA二1。令A,B为两个等阶整数方阵，如果存在单模矩阵U使得B=UA,那么我们就说B左等价于A；如果存在单模矩阵V使得B二AV,那么我们就说B右等价于A。如果存在单模矩阵U,V使得B二UAV,那么我们就说B等价于Ao令
4、k是一个整数且1?燮k?燮n。令Qkln表示所有｛订，……ik｝组成的集合，其中,11,……ik为正整数，且1?燮11<12<……〈ik?燮n。那么Qkln包含nk个不同元素。［换阵。设AeSno如果W,t为Qkln的两个元素,那么A(w,t)表示A的行号为w和列号为w子阵地行列式。令k是一个整数且1?燮k?燮n。如果A(w,t)二0对Qkln的所有元素w,t,我们令Dk(A)=0；否则令Dk(A)等于A(w,t)屮所有元素的公因子；Dk(A)表示A的第k个行列式因子。2整数矩阵的填充问题单模矩阵常用来定义整数二次型上的等价关系，一个部分矩阵是指一个矩阵的
5、一些元素已经确定而其它元素需加以确定的矩阵，我们称这些末确定的元素为自由元素。我们也称那些己经确定的元素为已知元素。令A二Qij),是一个n阶方程别且q是一个｛1,2,…，n｝上的置换,那么n=｛alqa(1),a2qa(2),,anqa(n)｝数组被称为矩阵A的一个对角，每个对角都包含A的不同行不同列的一个元素。特别的，｛all,al2,…，arm｝被称为A的一个自由对角线，一个部分矩阵的对角的每一个元素如果都是自由的就称这个对角是这个部分矩阵的自由对角，我们用Mr,s(Z)表示所有rXx整数矩阵的集合。对s(Z),我们用sj(A),j=l,・・・，ra
6、nk(A)表示英第j个不变因子。定理：令A为一个方的部分整数矩阵，如果A有一个自由对角，那么A能被填充为一个单模矩阵。证明：我们首先考虑A的主对角是自由对角这种情况，令A=(aij)的阶数为n。我们对n做数学归纳。当n二1时是平凡的；当n二2,令all=l,a22=al2a21+l,我们有detA=lo现在假设对n-l阶的部分整数矩阵结论成立，我们将证明结论门?叟3阶部分整数矩阵也成立，因此根据假设考虑£的n-l阶顺序主子阵，A能被填充为一个整数矩阵A'=AluvtanIn这里Al是一个单模矩阵n-l阶单模矩阵，并且Az和A有同样的最后一行和一列。于是我们
7、得出：detr=(detAl)(amln-vtAl-1u)因为Al是一个单模矩阵，Al-l也是一个单模矩阵，令：amln二vtAlTuT,我们则得出：detA'二detAl二±1。3具有整数特征值的整数矩阵的性质首先考虑nXn整数矩阵A具有整数特征值，我们可以选择一个特征值，比如k,令B二A-kin,很显然B也是整数矩阵和拥有整数特征值并且有一个特征值为0,因此只要说明矩阵B可以表示成上述A的形式，我们需要下面的引理。引理1：令B是一个整数矩阵并且其行列式为0,那么B可以表示为B二XY其中X为nX(n-1)的矩阵，y为(n-1)Xn的矩阵，并且这两个矩阵
8、的每一个元素都是整数。证明：根据Smith标准型，并且由于矩阵B的
