浅谈矩阵的对角化问题

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1、苏州大学本科毕业论文（2012届）浅谈矩阵的对角化问题学号0807402069姓名马莉莹院系数学科学学院专业数学与应用数学（师范）指导老师朱广俊目录中文摘要ABSTRACT前言3第一章矩阵相似对角化问题的引入4第二章矩阵相似对角化的条件5第三章矩阵对角化的若干方法73.1一般矩阵对角化的方法73.2实对称矩阵对角化的方法2027第四章特殊矩阵的对角化3132参考文献33中文摘要矩阵的对角化是矩阵理论屮的一个重要问题，木文利用高等代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件；从初等变换、线性方程组、特征子空间等不同角度探究了将一般矩阵和实对称矩阵对角化的若干方法；最后，分

2、析了一些特殊短阵的对角化问题，如幕等矩阵、幕零矩阵、实对称矩阵和Hermite阵等.关键词：对角化，特征值，特征向量，相似变换，线性变换.AbstractDiagonalizationofMatrixisanimportantprobleminthematrixtheory.Wegiveseveralconditionsofmatrixdiagonalizationbytheuseofhigheralgebrarelatedtheory.Wegivesomemethodsofdiagonalizationofgeneralmatrixandrealsymmetricm

3、atrixfromdifferentaspects,suchaselementarytransformation,systemoflinearequationsandcharacteristicsubspace.Intheend,weanalysisthediagonalizationofsomespecialmatrix,suchasidempotentmatrix,nilpotentmatrix,realsymmetricmatrixandhermitematrix.Keywords:diagonalization,eigenvalue,eigenvectors,

4、similaritytransformation,lineartransformation.矩阵的对角化在国内外已有一定的研究•早在十九世纪末，人们在研究行列式的性质和计算吋，提出了对角矩阵的概念•随着计算机的发展，矩阵对角化的应用前景也变得更为广阔.对角矩阵是一类最简单的矩阵，它在许多领域如量子力学、无线电、电子信息工程、计算机等屮起着重要的作用.由于通过相似变换，许多矩阵在相似意义下都与一个对角矩阵等价，而对角矩阵的性质很容易从它自身元素的特点得出，所以对于可对角化的矩阵，我们只要研究它的相似标准形即可.木文主要简述了矩阵可对角化的若干条件；从初等变换，线性方程组

5、，特征子空间等不同角度探究了将一般矩阵和实对称矩阵对角化的若干方法；最后，分析了一些特殊矩阵的对角化问题，如幕等矩阵、幕零矩阵、实对称矩阵和Hermite阵等.符号说明F数域FC复数域V数域F上的线性空间UV)FnV的全体线性变换的集合数域F上的川维向量全体所组成的集合FHZI数域F上的mxn阶矩阵的集合单位矩阵A'1AtAn矩阵A的逆矩阵A的转置矩阵A的共辄转置rank(A)tr(A)矩阵A的秩矩阵A的迹第一章矩阵相似对角化问题的引入在高等代数屮，对于有限维线性变换的研究，主要有两种方法.第一种：对某空间V的全体线性变换的集合厶少)引进运算：加法、数量乘积.这样厶少

6、)就构成了数域F上的线性空间.我们可利用这些运算来研究线性变换.第二种：在空间中取定一组基，建立起线性变换与短阵之间的一一对应关系，通过对线性变换所对应的矩阵的线性性质的探索了解，来获得线性变换的线性性质的相关信息.当利用矩阵这一工具来研究线性变换吋，我们自然希望它所对应的矩阵较为简单，最好为对角矩阵，以便容易了解它的性质•接下来我们自然会问：(1)对一个线性空间屮的线性变换而言，是否一定存在某个基，使得它对应的矩阵是对角形的？(2)若存在，则需满足什么条件？将矩阵变为对角矩阵又有哪些方法？(3)若不存在，那么我们能否退而求其次，使得线性变换在某一基下的矩阵是准对角矩

7、阵？事实上，对于第三个问题，在复数域上已得到了非常完美的解决，这就是矩阵的Jordan相似标准形问题•下面给出相关定义和定理.r00…00、10…00定义1：设宛X”矩阵A=0■■1…■■0■■0■■■<0■0…■1■0>块，其中入是它的主对角元,，称J(^,n)=(A+V)为属于入的一个Jordann是阶数•称主对角线上的小矩阵都是Jordan块的准对角矩阵为Jordan形矩阵.定理1([4])：设A是复数域上的舁阶方阵•则存在Jordan形矩阵丿，使得4与丿相似.如果不计Jordan块的排列顺序，这样的Jordan形矩阵是唯一的.一般情况下‘Jo