矩阵对角化问题.ppt

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1、第五章矩阵对角化问题对阶矩阵，1.方阵对角化的概念寻找相似变换矩阵，使这就称为把方阵对角化.说明如果能找到可逆矩阵，使，则可对角化；如果找不到这样可逆矩阵，则不可对角化.2.定理的引入设有可逆矩阵，使为对角阵.下面回答能否由确定.这表明的第个列向量是的对应于特征值的特征向量，因而由和确定，也就是由确定.由于特征向量不是惟一的，所以矩阵也不是惟一确定的.反过来，是依次与之对应的特征向量，则设矩阵的个特征值为，当可逆，即线性无关时，有这表明方阵能否对角化完全可用的特征值和特征向量来刻画.由定理证明可知,如果矩阵A相似于对角矩阵,设则矩阵P的列是A的线性

2、无关的特征向量,对角矩阵的对角元素是P中列向量对应的矩阵A的特征值.若则的主对角元素即为的特征值，3.方阵可对角化的充要条件定理4阶矩阵与对角阵相似(即能对角化)的充要条件是有个线性无关的特征向量.推论若阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似.(逆命题不一定成立）说明当的特征方程有重根时，不一定有个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化；但是，有重根时，也有可能能对角化.所以特征值互不相等只是与对角阵相似的充分条件.下述定理可将关于可对角化条件更精细地刻画出来.定理:设是n阶方阵A的全部不同的特征值,其重数分别为则A可以对角化的充分必要条件为对应

3、有个线性无关的特征向量.注:对应于的所有线性无关特征向量的基是的基础解系.个向量,故n阶方阵A可对角化当且仅当对A的每一个重特征根的基础解系恰有当且仅当例判断下列实矩阵能否化为对角阵？解:得得基础解系当时，齐次线性方程组为当时，齐次线性方程组为得基础解系线性无关即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。得基础解系所以不能化为对角矩阵.当时，齐次线性方程组为例设问为何值时，矩阵能对角化？解:析：此例是定理的应用.定理表明：阶矩阵可对角化有个线性无关特征向量.由此可推得另一个充要条件：对的每个不同的特征值，的重数=对应于的线性无关特征向量的个数所

4、以的特征值为1(二重)，.对应于单根，可求得线性无关的特征向量1个；对应于二重特征值1，若能对角化，则要使，则即说明解答此题的关键是将取值条件“可对角化”转化为“二重特征值1应满足”，从而求得.矩阵能否对角化，取决于它的线性无关特征向量的个数，而与的秩，的行列式都无关.四.矩阵对角化的实现的步骤:若矩阵A可以对角化,(1)求出A的所有特征值其重数分别为(2)对每一个,求出的基础解系,从而得对应的个线性无关的特征向量(3)用(2)中求得的特征向量形成矩阵则有练习:作业P1342,8(1,2),9,11,12,16