浅论函数图象的初等变换

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1、浅论函数图象的初等变换一个函数图象经过适当的变换（如平移、伸缩、对称等）得到另一个与Z有关的函数的图象，叫做函数的初等变换。在数学问题中，有关函数图象的变换经常出现，在教学中也发现学生对这类问题感到困惑，结合本人的教学经验，浅论一下函数图象的初等变换。一、平移变换（1）左右平移：函数y二f（x+a）的图象可以看作是把函数y二f（x）的图象上的所有点向左（当a>0时）或向右（当a<0时）平移

2、韵个单位后得到的。（2）上下平移：函数y二f（x）+h的图象可以看作是把函数y二f（x）的图象上所有点向上

3、（当h>0时）或向下（当h〈0时），平移

4、h

5、个单位后得到的。二、伸缩变换（1）横向伸缩：函数y二f（3X）（3>0明3工1）的图象可以看作是把函数y二f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短（当3>1时）或伸长（当00且AH1）的图象可以看作是把函数y二f（x）的图象上的所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0三、対称变换(2)函数y=f(x)与y二-f(x)的图象关于x轴成轴对称图形;(4)函数y=f与y二

6、-f(-x)的图象关于原点成屮心对称图形;函数y二f(X)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称;(5)(6)函数y二(x)与y二f(2m-x)的图象关于直线x二m成轴对称图形;函数y二

7、f(x)丨的图象是y二f(x)的图象中，x轴上方的部分保持不变(包括与x轴的交点)，把x轴下方的部分以x轴为対称翻折到x轴上方以后得到的；(7)函数y二(

8、x

9、)是偶函数，它的图象是y二f(x)在y轴右侧的图象(包插与y轴的交点)加上右侧图象关于y轴的对称图。利用上面的知识，还可以得到以下结论：1、若函数y

10、二f(x)满足f(2k-x)=f(x),则函数y二f(x)的图象关于直线x=k对称。证明：设P(a,b)是函数y=f(x)的图象上的任一点，即b=f(a),则P关于直线x二k的对称点这P‘(2k-a,b)Vf(2k-x)=f(x)对y二f(x)定义域内的x恒成立，・・・f(2k-a)二f(a)=b,即P‘是y二f(x)图象上的点，这就是说，函数y=f(x)图象上的任一点关于直线x二k对称的点都在y=f(x)的图象上，故函数y二f(x)的图象关于直线x二k对称。2、函数y二f(x)的定义域为R,且

11、满足f(m+x)=f(m-x),求证：y二f(x)的图象关于直线x二m对称。证明：设卩(a,b)是函数y二f(x)图象上的任一点，则f(a)=b,而P点关于直线点为Q(2m-a,b),则f(2m~a)二f[m+(m-a)]=f[m-(m~a)]=f(a)二b,所以点Q(2m-a,b)也在函数y=f(x)的图象上，因此y=f(x)的图象关于直线x二m对称。3、函数y二f(a-x)的图象与函数y二f(b+x)的图象关于直线对称证明：设点P(xO,yO)是函数y=f(a-x)图象上的任一点，则f(a-

12、xO)=y0,令b+x二a-xO,则x二a-b-xO,则函数y二f(b+x)的图象过点Q(a-b-xO,yO),而点P(xO,yO)和Q(a-b-xO,yO)关于直线对称，由于点P(xO,yO)是函数y二f(a-x)图象上的任一点，所以函数y二f(a-x)的图象上的任一点关于直线的对称点也都在函数y=f(b+x)的图象上；同理，函数y二f(b+x)的图象上的任一点关于直线的对称点也都在函数y二f(a-x)的图象上，因此函数y二f(a-x)的图象与函数y二f(b+x)的图象关于直线对称。4、若函数

13、y二f(x)的图象满足f(2a-x)二-f(x),则函数y二f(x)的图象关于点(a,0)対称证明：设点P(x0,yO)是函数y二f(x)图象上的任一点，则f(x0)二yO,Vf(2a~x)=-f(x),/.f(2a-x0)二_f(xO)二-yO,则点Q(2a-x0,-yO)也是函数y二f(x)图象上的点,显然点P(xO,yO)与点Q(2a-x0,-yO)关于点(a,0)对称，由于点P(xO,yO)是函数y二f(X)图象上的任一点，所以函数y二f(x)的图象上的任一点关于点(a,0)的对称点都在

14、函数y二f(x)的图象上，因此，函数y二f(x)的图象关于点(a,0)对称。5、(1)函数y二f(x)与函数y二-f(2a-x)的图象关于点(a,0)成中心对称；(2)函数y二f(a+x)与函数y二-f(a-x)图象关于点(a,0)成中心对称；解：(1)设点P(x0,yO)是函数y二f(X)图象上的任一点，则f(x0)=y0,令2a~x二x0,则x二2a-x0,则函数y二-f(2a~x)的图象必过点Q(2a-x0,-yO),进而点P(x0,yO)和点Q(2a~x0,-yO)关于点(a,0)对称。