初三数学 二次函数的大题

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1、二次函数与四边形一．二次函数与四边形的形状A例1.(浙江义乌市)如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平　　行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．例1.解：（1）令y=0，解得或∴A（-1，0）B（3，0）；

2、将C点的横坐标x=2代入得y=-3，∴C（2，-3）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（∵P点在E点的上方，PE=∴当时，PE的最大值=（3）存在4个这样的点F，分别是B(0,4)A(6,0)EFO练习1.(河南省实验区)23．如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与之间的

3、函数关系式，并写出自变量的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．B(0,4)A(6,0)EFO练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为．把A、B两点坐标代入上式，得解之，得故抛物线解析式为，顶点为（2）∵点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，∴y<0，即－y>0,－y表示点E到OA的距离．∵OA是的对角线，∴．因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的取值范围是1

4、＜＜6．①根据题意，当S=24时，即．化简，得解之，得故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．点E1（3，－4）满足OE=AE，所以是菱形；点E2（4，－4）不满足OE=AE，所以不是菱形．②当OA⊥EF，且OA=EF时，是正方形，此时点E的坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形练习2.（四川省德阳市）25.如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为．1234554321（1）求抛物线的函数关系式；（2）已知原点，定点，上的点与上的点

5、始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？（3）在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？若存，求出点的坐标；若不存在，说明理由．练习2.解：（1）由题意知点的坐标为．设的函数关系式为．又点在抛物线上，，解得．抛物线的函数关系式为（或）．（2）与始终关于轴对称，与轴平行．设点的横坐标为，则其纵坐标为，，，即．当时，解得．当时，解得．当点运动到或或或时，，以点为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点不存在．理由如下：若存在满足条件的点在上，则123554321，（或），．过点作于点，可得．，，

6、．点的坐标为．但是，当时，．不存在这样的点构成满足条件的直角三角形．练习3.（山西卷）如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，，．（1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），顶点为，四边形的面积为．若点，点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点与点重合为止．求出四边形的面积与运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；（4）

7、在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．练习3.[解]（1）点，点，点关于原点的对称点分别为，，．设抛物线的解析式是，则解得所以所求抛物线的解析式是．（2）由（1）可计算得点．过点作，垂足为．当运动到时刻时，，．根据中心对称的性质，所以四边形是平行四边形．所以．所以，四边形的面积．因为运动至点与点重合为止，据题意可知．所以，所求关系式是，的取值范围是．（3），（）．所以时，有最大值．提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形能形成矩形．由（2）知四边形是平行四边形，对角线是，所以当时四边

8、形是矩形．所以．所以．所以．解之得（舍）．所以在运动过程中四边形可以形成矩形，此时．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。