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1、精品文档二次函数与四边形一．二次函数与四边形的形状例1.(浙江义乌市)如图，抛物线yx22x3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；A（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．例1.
2、解：（1）令y=0，解得x11或x23∴A（-1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入yx22x3得y=-3，∴C（2，-3）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（(x,x22x3)∵P点在E点的上方，PE=(x1)(x22x3)x2x219∴当x时，PE的最大值=24（3）存在4个这样的点F，分别是F1(1,0),F2(3,0),F3(47，0),F4(47,0)练习1.(河南省实验区)23．如图，对称轴
3、为直线x7的抛物线经过点yA（6，0）和B（0，4）．27x（1）求抛物线解析式及顶点坐标；2（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关B(0,4)系式，并写出自变量x的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱F形？②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点ExOA(6,0)E1欢迎。下载yx精品文档的坐标；若不存在，请说明理由．B(0,
4、4)练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是x7，可设解析式为27)2ya(xk．把A、B两点坐标代入上式，得2Oa(67)2k0,225E2解之，得a7,k.a(0)2k4.362故抛物线解析式为y27225，顶点为(725(x)6,).3226（2）∵点E(x,y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y2(x7)225，326∴y<0，即－y>0,－y表示点E到OA的距离．∵OA是OEAF的对角线，∴S2SOAE21OAy6y4(7)225．22x的因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，
5、0），所以，自变量取值范围是1＜x＜6．①根据题意，当S=24时，即4(x7)22524．7)21.2化简，得(x解之，得x13,x24.24故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．点E1（3，－4）满足OE=AE，所以OEAF是菱形；2（4，－4）不满足OE=AE，所以OEAF不是菱形．点E②当OA⊥EF，且OA=EF时，OEAF是正方形，此时点坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使OEAF为正方形72FA(6,0)xE的2
6、欢迎。下载精品文档练习2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x轴交于点A(1，0)和B(5，0)的抛物线l1的顶点为C(3，4)，抛物线l2与l1关于x轴对称，顶点为C．（1）求抛物线l2的函数关系式；yl2（2）已知原点O，定点D(0，4)，l2上的点P与l1上的点P始终关于x轴5E4对称，则当点P运动到何处时，以点D，O，P，P为顶点的四边形是平行32四边形？1B（3）在l2上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为301O12345x1A的直角三角形？若存，求出点M的坐标；若不存在
7、，说明理由．2练习2.解：（1）由题意知点C的坐标为(3，4)．设l2的函数关系式为34C5l1ya(x3)24．又点A(10)，在抛物线ya(x3)24上，(13)2a40，解得a1．抛物线l2的函数关系式为y(x3)24（或yx26x5）．（2）P与P始终关于x轴对称，PP与y轴平行．设点P的横坐标为m，则其纵坐标为m26m5，OD4，2m26m54，即m26m52．当m26m52时，解得m36．当m26m52时，解得m32．当点P运动到(36，2)或(36，2)或(32，2)或(32，2)
8、时，PP∥OD，以点D，O，P，P为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点M不存在．理由如下：若存在满足条件的点M在l2上，则AMB90，BAM30（或ABM30），yBM1AB142．5Cl2D223过点M作MEAB于点E，可得BMEBAM30．2111EBx3，OE4．OEBBM21，EM112345221A423欢迎。下载3MC5l1精品文档点M的坐标为(4，3)．但是，当x4时，y426451624533．不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形．练习3.（山西卷）如图，已知抛物线
