基于简单WENO-间断Galerkin的Euler方程自适应计算

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1、2016年4月第42卷第4期北京航空航天大学学报JournalofBeijingUniversityofAeronauticsandAstronauticsApril2016V01．42No．4http：7fbhxb．buaa．edu．CYIjbuaa@buaa．edu．cnDOI：10．13700／j．bh．1001—5965．2015．0237基于简单WENO-间断Galerkin的Euler方程自适应计算吴泽艳1，(1．三峡大学水利与环境学院，宜昌443002王立峰2一，武哲22．北京航空航天大学航空科学与工程学院

2、，北京100083)摘要：为了得到Euler方程的高精度、高分辨率数值解，介绍了间断Galerkin方法、三角形单元上简单WENO限制器的基本原理以及基于自适应网格加密的激波捕捉方法。将简单WENO限制器一间断Galerkin方法应用到凸边四边形单元上，通过单元边界上高斯积分点的坐标来搜索相邻单元从而得到相邻单元的单元编号，实现了基于“问题单元”的局部网格加密自适应计算。对若干典型问题进行编程计算，结果表明，简单WENO限制器可以应用到曲边四边形单元上，且可适用于局部网格加密时具有“悬挂节点”的非结构网格上的激波捕捉。关

3、键词：间断Galerkin方法；简单WENO限制器；Euler方程；自适应计算；曲边四边形单元中图分类号：0242文献标识码：A文章编号：1001—5965(2016)04-0806-09间断Galerkin(DG)方法是由Reed和Hill¨1于1973年为了解决线性输运问题而提出，此后该方法得到了不断发展。20世纪90年代，Cockburn和Shu旧1提出的Runge．Kutta间断Galerkin(RKDG)方法尤其引人注目，在气动力学、水动力学、电磁场以及气动声学等领域的数值模拟中得到了广泛应用。1998年前后，

4、Bassi和Rebay¨1、Cockburn和Shu¨1又将DG方法推广到了黏性流动的计算。近期，Shu¨。对DG方法作了较详细的综述。DG方法是有限元方法与有限体积方法的结合，在基函数和检验函数的运用方面与有限元方法相似，而在对方程性质的近似方面与有限体积方法更接近，因此有若干优点。首先，与有限元方法一样，间断有限元方法可以方便地提高空间和时间方向的计算精度。在空间上，DG方法可以方便地实施自适应计算，其有2个方面的含义：①对网格单元的自适应加密。DG方法允许单元间出现“悬挂节点”，因此网格加密非常简单。②DG方法允许

5、不同的单元采用不同阶的多项式。这2个方面分别称作h自适应和P自适应。其次，由DG方法形成的常微分方程组，其质量矩阵是分块对角的，甚至可以是单位矩阵，只要在各个单元内选择合适的正交多项式基函数。因为分块对角矩阵求逆相当于各个块矩阵的求逆，所以质量矩阵的求逆计算量极小。分块对角矩阵的逆仍然是分块对角矩阵，所以存储量也极小。最后，间断有限元方法特别适于并行计算。从已有文献可知，间断有限元方法的并行计算效率在80％以上旧1。与用谱方法求解间断问题会出现Gibbs现象类似，如果解在单元内出现间断，则用高阶多项式作为形函数会导致近似

6、解的振荡。为了获得稳定收稿日期：2015-04．18；录用日期：2015-07-17；网络出版时间：2015—10-1415：18网络出版地址：WWW．cnki．net／kcms／detail／11．2625．V，20151014．1518．003．html基金项目：三峡大学人才科研启动基金(KJ20148031)}通讯作者：Tel．：010—82339560E—mail：wanglifeng@ase，buaa．edu．cn引用格式：吴泽艳，王立峰，武哲．基于简单WENO-间断Galerkin的Euler方程自适应计算Ⅳ

7、J．北京航空航天大学学撮，2016，42f4)：806-814．WUZY，WANCLF，WUZ．AdaptivesimpleWENOlimiter-discontinuousGalerkinmethodforEulerequations【l3．JournalofBeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics，2016，42(4)：806—814(inChinese)．第4期吴泽艳，等：基于简单WENO一间断Galerkin的Euler方程自适应计算807的近似解，需要引入限制器

8、对解作修正。早期，研究人员开发了一些经典的限制器，如基于minmod函数的TVB限制器¨。、Biswas等。81的moment限制器、Burbeau等∽1的改进moment限制器、保单调限制器¨0。和改进保单调限制器⋯-等。之后，类似从差分法中借鉴数值通量概念，间断有限元方法从差分法中借鉴了WENO的思想‘1⋯，通过