曲边单元间断有限元方法求解二维Euler方程

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1、第42卷第4期2012年7月航空计算技术AeronauticalComputingTechniqueV01．42No．4Jul．2012曲边单元间断有限元方法求解二维Euler方程张庆云(中航通用飞机有限责任公司，广东珠海519000)摘要：考虑到间断有限元方法对边界的敏感性，采用基于八节点曲边四边形单元的间断有限元方法求解了Euler方程的圆柱绕流问题。详细推导了八节点四边形单元的变换关系，给出了Jacobi矩阵行列式的具体表达式。对比直边单元和曲边单元的计算结果，采用曲边单元后，计算结果符合Euler方程的无粘假设，得出了八节点

2、四边形单元间断有限元方法求解Euler方程是合适的结论。关键词：Euler方程；间断有限元；曲边单元中图分类号：V211文献标识码：A文章编号：1671—654X(2012)04—0052．04DiscontinuousFiniteElementMethodBasedonCurvilinearBoundaryQuadrilateralElementfor2DEulerEquationsZHANGQing—yun(GeneralAircraftLimitedLiabilityCompany，AVIC，Zhuhai519000，Chin

3、a)Abstract：Consideringthesensitivityofthediscontinuousfiniteelementmethodtotheboundary，wehavesolvedtheproblemofflowaroundacylinderofEulerequationwiththediscontinuousfiniteelementmeth．odbasedon8nodescurvedboundaryquadrilateralelement．Wededucethetransformationofthe8nodec

4、urvedboundaryquadrilateralelement，andgivetheexpressionofthedeterminantoftheJocabimatrix．Bycomparingthedifferentresultfromstraightelementandcurvedelement，itisfoundthattheresultistrueforEulerequationbyusingcurveelement，anditisreasonabletousethediscontinuousfiniteelementm

5、ethodbasedon8nodescurvedboundaryquadrilateralelementtosolveEulerequation．Keywords：Eulerequation；discontinuousfiniteelementmethod；curvilinearboundaryelement引言间断有限元方法是由Reed和Hill【1o于1973年最早提出的，用于解决线性输运问题，此后该方法得到了不断发展。20世纪90年代前后，以BernardoCockburn和舒其望旧1为代表提出的Runge—Kutta间断Ga

6、lerkin(RKDG)有限元方法，尤其引人注目，广泛应用到了水动力学、气动力学、波传播、电磁场，以及气动声学等领域的数值模拟。在1998年前后，Bassi和Rebay¨o以及Cocurburn和Shu[41又分别将DG方法推广到了黏性流动的计算。随后于剑、阎超

7、5】构造出了多种求解N—S方程的DG方法。文献[6]对DG方法作了详细综述。用有限元方法数值求解偏微分方程时，一般用直边单元对求解域进行离散，所以求解域的曲边边界也由分段直边近似。但是，由于DG方法对边界很敏感，所以在用基于直边单元的DG方法求解Euler方程的绕流问题时会

8、得到不正确的解，如求解圆柱绕流问题时，在圆柱后出现对称分布的涡，这与无粘假设相矛盾。现在还没有见到对这种现象的数学解释方面的文章，一般认为是对边界的直线离散降低了数值解的精度。特别地，对于守恒型Euler方程而言，对边界的直线离散使得在边界附近出现了虚假的熵增。因此，2006年，LiliaKrivodonova和MarshaBergerul提出了对边界进行处理的方法，使得圆柱绕流解中不再有涡出现，计算结果符合无粘假设。然而，这种对边界的处理方法没有理论根据，概念模糊，也不适用于N．S方程的求解。因此，本文使用基于曲边单元的DG方法求

9、解二维Euler方程，且得到了正确的计算结果。和文献[7]一样，本文只讨论曲边边界对计算结果的影响，不考虑超音速激波捕捉问题。1控制方程二维非定常Euler方程为：收稿日期：2011—12一05修订日期：2012—06—08作者简介：