RKDG有限元法求解一维拉格朗日形式的Euler方程

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1、第31卷第1期计算物理Vo1．31，No．12014年1月CHINESEJOURNALOFCOMPUTATIONALPHYSICSJan．。2014文章编号：1001-246X(2014)01—0001—10RKDG有限元法求解一维拉格朗日形式的Euler方程李珍珍，蔚喜军。，赵国忠，冯涛(1．中国科学技术大学数学科学学院，合肥230026；2．中国工程物理研究院研究生部，北京100088；3．北京应用物理与计算数学研究所计算物理实验室，北京100088；4．包头师范学院数学科学学院，包头014030)摘要：描述一种新的求解Euler方程的拉格朗日格式，该格式用Runge—K

2、uttaDiscontinuousGalerkin(RKDG)方法在拉格朗日坐标系求解Euler方程，剖分网格随流体运动．新格式不仅保证流体的质量、动量和能量守恒，而且能够在时间和空间上同时达到二阶精度．数值算例表明在一维情况，随着拉氏网格的移动和改变，格式在时间和空间上仍保持二阶精度，并且没有数值震荡．关键词：拉格朗日格式；Euler方程；RKDG有限元方法；一维守恒格式中图分类号：0241．82文献标识码：A0引言用数值方法求解流体力学问题时，有两个基本的方法：①拉格朗日方法，网格随流体一起运动，对于许多有内界面或自由面的问题这是一种理想的求解方法；②欧拉方法，流体流过固

3、定的网格，这种方法对大变形问题比较理想，但对内界面和自由面没有十分清晰的分辨能力．因此有学者将欧拉方法和拉格朗日方法结合起来，使之兼有两者的优点，而避免两者的缺点，称为ALE方法．大多数的ALE方法包括3步求解：①拉格朗El方程求解，②网格重分，③物理量重映．多介质流数值模拟的难点在于如何处理移动的物质界面和其附近的网格，而拉格朗13方法的网格嵌在流体内与流体一起运动，所以它能清晰地计算出流体的界面，清楚地反映出流体内部运动的细节．本文针对一维可压缩欧拉方程，提出一种间断有限元方法的拉格朗日格式．构造离散格式最关键的一点是确定在哪里定义所有的自由度．从这点出发，拉格朗日格式可

4、以分为两种：交错格式，速度定义在结点，其它物理量定义在单元内部；单元中心格式，所有变量都定义在单元内，这两种格式的历史发展可参考文献[1—3]．我们集中研究单元中心格式，因为交错拉格朗日格式很难构造对所有量一致的高阶格式，但单元中心的拉格朗日格式可以做到．‘单元中心的拉格朗日格式一般可以分为两类：①计算网格随着流体运动．例如文[4]中的拉格朗日格式是采用有限体积方法，以高阶本质非震荡重构为基础的高阶格式，节点速度采用Roe平均．这种格式的优点是保证质量、动量和能量守恒，间断处的非震荡，无参数，在时间和空间上保持一致高精度．但它需要临近单元的信息进行重构，所以紧致性差．②网格在

5、拉格朗13空间中固定．文献[9]给出了统一坐标法，在引入的统一坐标系中流体变量(密度、速度等)被认为是时间和伪粒子永久性标识的函数．这些伪粒子以“的速度运动，其中u为流体粒子的速度，h从0到1变化．通过h的适当选取，可以避免网格的严重变形，但其缺点是对每个数值算例都需要重新寻找适当的参数h．文献[10—12]中用DG方法对固定拉格朗El空间上的Euler方程进行求解，此时不需要重构就达到了高阶精度，而且也没有引入参数，对每个数值算例都成立．但这种方法的缺点是推广到二维情形时，需要将物理守恒律和几何守恒律同时求解，这不仅增加了方程个数，变量个数使计算量增大，并且新的方程组还是弱

6、双曲的．鉴于以前的研究，我们在本文中给出了一种用DG方法求解一维Euler方程新的拉格朗日格式．格式中收稿Et期：2013—0l一25；修回日期：2013—07—15基金项目：国家自然科学基金(11171038，11261035)、中国工程物理研究院科学技术发展基金(2013A0202011)、内蒙古自治区高等学校科学研究重点项目基金(NJZZ12198)和内蒙古自治区自然科学基金(2012MS0102)资助项目作者简介：李珍珍(1985一)，女，博士生，从事计算流体力学研究，E-mail：lyzhen@mail．uste．edu．ca2计算物理第31卷计算网格随着流体运动，

7、单元顶点速度仍取为Roe平均，数值通量采用Lax．Friedrichs数值通量和HLLC数值通量，并在数值实验中对两种通量做简单比较，为了抑制间断处的虚假震荡，我们采用TVD限制器．这种新格式保证流体的质量、动量和能量守恒，并且与有限体积方法相比，不需要重构就能够在时间和空间上达N-阶精度．最后我们还给出一些实验算例，说明在一维情况下，随着拉氏网格的移动和改变，该格式在时间和空间上仍是保持二阶精度的，无震荡，并且没有引入新的参数．1一维拉格朗日形式的Euler方程本节主要给出新的拉格朗日形式下Euler