资源描述：
《拉格朗日形式与物理学》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第23卷第4期南昌大学学报(理科版)Vol.23No.41999年12月JournalofNanchangUniversity(NaturalScience)Dec.1999拉格朗日形式与物理学吴志梅(南昌大学物理学系南昌330047)摘要物理学中的拉格朗日形式是一种数学形式化语言,它成功地表达了许多重要领域的物理理论,例如,力学、经典场论、量子场论、规范场论等。它不仅能精确表达理论,而且揭示了物理定律与空间时间属性之间的关系,很可能也是统一场论和处理束缚体系的表达方式。关键词拉格朗日形式,物理理论,空间时间,对称
2、性,守恒律分类号O411引言象其它科学理论一样,物理理论包括由多种概念、原理、推论所联系起来的逻辑结构及用来描述物理对象的有效方法。由基本概念、基本原理、科学推论所组成的逻辑结构是具有原理演绎式的结构,如果采用的是数学化的演绎,则逻辑结构更理想,更纯粹。物理理论正是如此。物理学不仅用数学方法处理实验数据,而且更多的是用于探索新的规律,建立起用数学形式化语言表达的理论。因此,物理学具有高度精确性、有效性和预见性,成为了现代科学的基础。最小作用量原理是现代物理理论的一个重要源头。从最小作用量原理出发,采用拉格朗日形式,可以将力学
3、、经典场论、量子场论、规范场论贯穿起来,并伸向物理学的未来。拉格朗日形式是一种数学化形式,它包罗并表达了如此丰富的物理内容是很值得人们深思的。本文探讨并力图展现拉格朗日形式在物理学中的主动脉作用,概述它包含的丰富信息和它的新发展。1哈密顿原理和最小作用量力学体系都具有确定的动能,动能是体系中质点的速度和位置坐标的函数。此外,如果体系是保守系,则它还有势能,势能是质点的位置坐标的函数。设体系的动能为T,势能为V,定义L=T-V(1)L也是体系中质点的速度和位置坐标的函数。哈密顿于1824年提出如下原理:体系在任何两时刻t0和t1
4、之间所发生的运动是使积分t1Ldt(2)t0的数值比这体系在时间t0和t1内作任何别的可能运动的积分数值都要小,或者都要大。由于收稿日期:1999-09-06作者:女,1975年生,硕士研究生第4期吴志梅:拉格朗日形式与物理学∀385∀对所有可能的运动,初态和终态分别都是相同的,因此,换句话说,这个积分对于实际的运动有一驻定值。这个原理也叫做最小值原理。应用时只用到驻定性。被积函数L称为拉格朗日函数或动势,积分称为作用量。在变分学中,驻定条件由变分等于零来表达,即t1Ldt=0(3)t0具体施以变分之后就可以得到体系的运动方程
5、。关于哈密顿原理,也可以如下陈述:动能的时间平均和势能的时间平均的差有一驻定值。也就是说,对于实际的运动,比起对于同一时间同样两状态间的其它可能的运动来,真实运动的平均动能或者更接近于平均势能,或者差得更大。物理上出现的情况通常是平均动能更接近于平均势能。2广义坐标和拉格朗日方法哈密顿原理为力学提供了理论基础,但力学都是采用规定质点位置的通常的空间坐标来讨论问题,这就大大妨碍了人们在处理一般物理问题时推广力学的方法。因为大多数物理现象,例如光、声、电,基本粒子等现象不能直接观察到质点的运动。在这些物理现象中,我们尚未明了的质点
6、运动实际上支配着体系的物理状态,而物理状态是由某些可以测量的参数来表征的,知道了参数随时间的变化关系就知道了体系每一时刻的状态。不妨把表征物理体系的参数叫做广义坐标,并沿用力学的方法来描述体系。若n个广义坐标能确定体系在某一时刻的状态,我们就说这体系有n个自由度,并以q1,q2,!,qn表示之。当然,这些q中的任何一个都是由该体系中的质点的运动决定的。反过来说,质点位置的空间坐标也应该可以由q来表达。对于第j个质点可以写成:jjxi=xi(q1,q2,!,qn)x1=x,x2=y,x3=z,i=1,2,3(4)∀∀于是,这个体
7、系的动能可以表为T(q,q),势能表为V(q)。拉格朗日函数表为L(q,q)=∀T(q,q)-V(q),对L施以变分可以得到n个方程式:dLL(∀)-=0(5)dtqjqj其中j=1,2,!,n,这是关于这个物理体系的拉格朗日方程,亦即由广义坐标q1,q2,!,qn表达的体系的运动方程。3经典场论的拉格朗日形式上述关于力学的拉格朗日方法只适用于宏观、低速的物理现象,对于高速运动体系还必须考虑由相对论引起的修正,对于微观粒子还要考虑量子效应。经典场(如电磁场)是高速运动的物理体系,有关经典场的理论形式应该满足相对论的严格
8、的不变性的要求。设场物理量是(x),=1,2,!,n。其中(x)是(x1,x2,x3,x4)的简写。x1,x2,x3代表空间坐标,x4代表时间坐标(c表示光速),n代表在每一时空点上场物理量的数目。场是连续体系,我们应当认定拉格朗日函数L是由拉格朗日函数密度L
